Chủ đề này có 1 trả lời

[elroja]

Cho a, b là 2 số thực dương thoả mãn: $2(a^{2}+b^{2})+ab=(a+b)(ab+2)$ 

Tìm GTNN của biểu thức $P=4(\frac{a^{3}}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}}) + 9(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}})$ 

 

Cái biểu thức điều kiện phức tạp quá mình không biết nên đi hướng ntn? Mong nhận được sự giúp đỡ ! 

[Nguyen Huy Tuyen]

Cho a, b là 2 số thực dương thoả mãn: $2(a^{2}+b^{2})+ab=(a+b)(ab+2)$ 

Tìm GTNN của biểu thức $P=4(\frac{a^{3}}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}}) + 9(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}})$ 

 

Cái biểu thức điều kiện phức tạp quá mình không biết nên đi hướng ntn? Mong nhận được sự giúp đỡ ! 

Ta có:$2(a^{2}+b^{2})+ab=(a+b)(ab+2)$

       $\Leftrightarrow \frac{2(a^2+b^2)}{ab}+1=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}(\sqrt{ab}+\frac{2}{\sqrt{ab}})\geqslant 2\sqrt{2}\sqrt{\frac{a^2+b^2}{ab}+2}$

Đặt $\frac{(a^2+b^2)}{ab}=x,(x>0)$ Ta có:$2x+1\geqslant 2\sqrt{2}\sqrt{x+2}\Leftrightarrow 4x^2+4x+1\geqslant 8x+16\Leftrightarrow (2x-5)(x+3)\geqslant 0\Leftrightarrow x\geqslant \frac{5}{2}$

Ta có:$P=4x^3+9x^2-12x-18=(x-\frac{5}{2})(4x^2+19x+\frac{71}{2})+\frac{283}{4}\geqslant \frac{283}{4}$

Vậy $Min(P)=\frac{283}{4}$$\Leftrightarrow a=1,b=2$và hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Huy Tuyen: 29-07-2013 - 13:10