Chủ đề này có 2 trả lời

[nhoclovebb]

giả sử x₁ , x₂ là nghiệm của phương trình x²+7x-1=0. Đặt S_n= x₁ⁿ +x₂ⁿ (n là số nguyên dương)

a, CMR S_n là số nguyên  ( với mọi n nguyên dương)

b, s_n và s_n+1 nguyên tố cùng nhau

c, tính số dư của S₂₀₁₃ cho 7

 

 

 

 

[ngoctruong236]

$\dpi{150} \small \: Theo\:dly \:Vi-et \: ta\:co \:: \:x1+x2=-7,x1.x2=-1 \:.Ta \:CM \:cau \:a \:theo \\:qui \:nap \: .\: Ta\: co\: :\:voi \:n=2 \: thi\: S2=(x1+x2)^2-2x1x2=49+2=51\:la \:so \: nguyen\: ,\: voi\:S3,S4 \: cung\:nhu \:vay \:. \:Gia \:su \: menh\: de\:dung \: voi\: n=k\:\rightarrow Sk \:la \:so \: nguyen\:.Menh \: de\: dung\: voi\:n=k \:\rightarrow \:menh \:de \: cung\:dung \:voi \:n=k-1 \:. \:Ta \: co\: Sk-1.Sk+1=(x1^{k-1}+x2^{k-1})(x1^{k+1}+x2^{k+1})=x1^k+x2^k+x1^{k-1}.x2^{k-1}(x1^2+x2^2)=VP\.:Theo \:qui \: nap\: \rightarrow \: VP\:la \:so \:nguyen \:\rightarrow Sk+1 \:la \:so \: nguyen\rightarrow dpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngoctruong236: 30-07-2013 - 18:53

[ngoctruong236]

$\dpi{150} \small \:Ta \:co \::x1+x2=-7,x1.x2=1 \: \rightarrow x1\: va\:x2 \: khong\:chia \:het \:cho \:7 \:.Do \: do\: ap\: dung\:dinh \: ly\:Fecma \:, \:ta \:co \:x1^6\equiv 1(mod7) \:\rightarrow (x1^6)^{335}\equiv 1(mod7)\:\rightarrow x1^{2010}\equiv 1(mod7) \: Tg\:tu \:x2^{2010}\equiv 1(mod7) \:\rightarrow x1^{2010}+x2^{2010}\equiv 2(mod7) \:\rightarrow \:x1^{2010}+x2^{2010}=7k+2\rightarrow \:(x1^{2010}+x2^{2010})(x1^3+x2^3)=x1^{2013}+x2^{2013}+(x1x2)^3(x1^{2007}+x2^{2007})=(7k+2)(x1^3+x2^3)\: \:Ta \:co \:(x1x2)^3(x1^{2007}+x2^{2007}=-1(x1+x2)(x1^{2006}-x1^{2005}+.....+x2+1)=7(x1^{2006}-x1^{2005}+.....+x2+1)\vdots 7 \:,(7k+2)(x1^3+x2^3)\vdots 7 \:\rightarrow \:x1^{2013} +x2^{2013}=S2013\vdots 7\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$