Chủ đề này có 42 trả lời

[hungkhtn]

Cách với n=3,4 (của tôi) đã khó mà nhai nổi(Vì thế chưa dám xét với n lớn hơn)...nhưng thực tế thì CM này rất cần KTra lại.

[html]

Không có 1 cách không phải tính toán sao?
Không tìm đc số nhỏ nhất sao? (Số vô tỉ đó, đừng tìm dạng $1+\dfrac{1}{n}$ làm gì! Trò trẻ con!)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 18:34

[hungkhtn]

Thử chứng minh với n=6 xem BĐT có đúng không. Đừng có nói mồm.

[Hatucdao]

Có vẻ các bạn gặp khó khăn khi kiểm tra nhiều BĐT "xấu xí" như (1)->(7). Một cách nhanh chóng để kiểm tra các kết quả này là dùng đồ thị (tất nhiên, nó không phải là 1 chứng minh, nhưng có lẽ chúng ta không nên tốn nhiều sức vào những việc không quá quan trọng). Dưới đây là đồ thị của chúng (cả các lệnh tương ứng trong Maple).

File gửi kèm

•  KtraBDTbangdothi.pdf   54.75K   99 Số lần tải

[hungkhtn]

Xin mời mọi người thử tìm 1 lời giải đẹp trong trường hợp n=3,4.
Với 2 trường hợp này,đều là các BĐT hay và đẹp.Tuy nhiên lời giải hiện giờ của tôi lại rất ko đẹp.

[MrMATH]

@saobang: bđt được gọi là đẹp thì mít nhất nó phải đúng, cậu cứ CM tínmh đúng đắn của nó đi đã, CM đẹp tính sau.okei?

[hungkhtn]

Ơ kìa,nó "hiển nhiên" là đúng mà.Đây không phải là dự đoán mà tớ đã CM lâu rùi.Còn ktra được lời giải của HatucDao thì càng khẳng định 200% là bđt đúng với n=3,4.

[MrMATH]

okie, tóm lại đã ai kiểm tra CM của hatucdao chưa vậy?

[Lotus]

Hướng của mình khi kiểm tra BĐT (với n=3,4 khá gọn). Cho tổng$\dfrac{a+b}{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 18:36

[hungkhtn]

Đấy là 1 hướng làm khá phổ thông(tôi nghĩ vậy) nhưng có lẽ với bài này thì không đơn giản lắm,ngay cả trong trường hợp n=3,4.Lotus có thể post lời giải được chứ?Để mọi người học hỏi và kiểm tra!

[nemo]

Thêm một vấn đề nữa đây !

Cho a,b,c và $x+y+z \le 3$, tất cả các số đều dương.

Khảo sát xem khi nào thì : $\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \ge a+b+c$

Nói thêm, đây là dạng mở rộng bài toán của Saobang vì bài toán của SB là trường hợp riêng của bài toán:

Nếu $a \ge b \ge c$ tìm tất cả $x \ge z \ge y $để BĐT : $\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \ge a+b+c $đúng với mọi a,b,c dương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 18:42

[hungkhtn]

Ko thể nói là bài mở rộng được vì Điều kiện cuẩ x,y,z phụ thuộc vào a,b,c .Giải bài của anh(em nghĩ cũng không khó lắm) thì vẫn không thể hoàn chỉnh bài của em được.

Lotus có thể post lời giải chứ?

[hungkhtn]

Hi` hi`.Mình đợi Lotus mấy ngày rùi.Bạn post lời giải khá gọn với n=3,n=4 được ko vậy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 18:43

[Nesbit]

Em có biết bài này : a,b,c > 0 và a+b+c=1. Chứng minh
$\large \dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2} \ge \dfrac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 18:44

[hungkhtn]

Hì hì,đây chỉ là trường hợp $n=2. \dfrac{3}{2}$ nên tương đối đơn giản!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 18:45

[Nesbit]

Vâng, với $k \ge \dfrac{3}{2} $ cũng thế !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 18:47

[EROS_CUPID]

Xét bài toán sau:Tìm k sao cho:
a+b+c=1(vì đây là hàm thuần nhất nên ta có thể giả sử)
Xét hàm:f(x)=$\dfrac{1}{1+x^{k-1}}$
1/Nếu f lồi :Áp dụng BĐT Jensen với trọng số a,b,c ta có:
=$\sum a.f(\dfrac{b}{a})\geq f(a.\dfrac{b}{a}+b.\dfrac{c}{b}+c.\dfrac{a}{c})=f(a+b+c)=\dfrac{1}{1+(a+b+c)^{k-1}}=\dfrac12=\dfrac{a+b+c}{2}$
2/Nếu f lõm:
(1) tương đương với:$\sum\dfrac{ab^{k-1}}{a^{k-1}+b^{k-1}}\leq \dfrac{a+b+c}{2}$
Ta có:$VT=a.f(\dfrac{a}{b})+b.f(\dfrac{b}{c})+c.f(\dfrac{c}{a}) \leq f(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a})=\dfrac{1}{1+\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}}\leq \dfrac{1}{1+a+b+c}=\dfrac12=\dfrac{a+b+c}{2}$
Vậy ta có BĐT (1) đúng với k làm cho hàm f lồi hoặc lõm.

Nhưng đây mới chỉ là điều kiện cần chứ chưa đủ!!Với k=4 ,f ko phải hàm lồi nên ko thể cm được thướng này...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 21-04-2009 - 18:49

[EROS_CUPID]

Ko ai còn quan tâm đến bài toán này nữa sao????

[Messi_ndt]

Sau đây mới là bài toán mà thực sự chưa ai giải được(theo tôi biết).Nếu ai mà giải được thì thực sự là cao thủ :

Tìm k min để bđt sau đúng với mọi a,b,c dương.
$\dfrac{a^k}{a+b}+ \dfrac{b^k}{b+c}+\dfrac{c^k}{c+a}\ge \dfrac{a^{k-1}+b^{k-1}+c^{k-1}}{2}$

-------
xin mạn phép split topic này ra 1 thread riêng.

k đẹp nhất và tốt nhất bây giờ là k=7. Lời giải bằng DAC khá hên xui.

[Pirates]

k đẹp nhất và tốt nhất bây giờ là k=7. Lời giải bằng DAC khá hên xui.

Bạn giải ra luôn đi nhé. Thấy anh Hùng nói như trên thì mình thấy rằng bạn nên giải ra luôn cho mọi người tham khảo.