Chủ đề này có 4 trả lời

[noavata]

Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix} \frac{10}{2x+3y}+\frac{1}{xy}=1 & \\ \frac{124}{4x^2+9y^2}-\frac{1}{x^2y^2}=1 & \end{matrix}\right.$

 

 

 

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 03-08-2013 - 20:02

[SOYA264]

Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix} \frac{10}{2x+3y}+\frac{1}{xy}=1 & \\ \frac{124}{4x^2+9y^2}-\frac{1}{x^2y^2}=1 & \end{matrix}\right.$

ĐK: $x,y\neq 0$

 

Đặt $2x+3y=a;xy=b$ hệ trở thành:

 

$\left\{\begin{matrix} \frac{10}{a}+\frac{1}{b}=1(1) & \\ \frac{124}{a^2-12b}-\frac{1}{b^2}=1(2) & \end{matrix}\right.$

 

Từ (1)$\Rightarrow a=\frac{10b}{b-1}$

 

Từ (2)$\Rightarrow 124b^2=(b^2+1)(a^2-12b)$

 

$\Rightarrow 124b^2=(b^2+1)[(\frac{10b}{b-1})^2-12b]$

 

$\Leftrightarrow 31b=(b^2+1)[\frac{25b}{(b-1)^2}-3]$

 

$\Leftrightarrow 3b^4-56b^2+3=0\Leftrightarrow b^2= \frac{28\pm 5\sqrt{31}}{3}$

 

Số xấu quá, mình ngại tính tiếp. Nhưng tới đó thì có thể tìm được a,b sau đó dễ dàng tìm được $x,y$ không biết có nhầm chỗ mô không ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 03-08-2013 - 15:27

[chinhanh9]

Hè Hè cách khác nè anh SOYA264  :

ĐK: $x,y\neq 0$

Phương trình đã cho tương đương với:

$$\left\{\begin{matrix} 10+\frac{2x+3y}{xy} =2x+2y& \\ 124-\frac{4x^{2}+9y^{2}}{x^{2}y^{2}}=4x^{2}+9y^{2} & \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2x-\frac{3}{x})+(3y-\frac{2}{y})=10 & \\ (4x^{2}+\frac{9}{x^{2}})+(9y^{2}+\frac{4}{y^{2}})=124 & \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2x-\frac{3}{x})+(3y-\frac{2}{y})=10 & \\ (2x-\frac{3}{x})^{2}+(3y-\frac{2}{y})^{2}=100 & \end{matrix}\right.$$

Đặt $a=2x-\frac{3}{x}; b=3y-\frac{2}{y}$

Hệ trở thành:

$$\left\{\begin{matrix} a+b=10 & \\ a^{2}+b^{2}=100 & \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=10 & \\ ab=0 & \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=10 & \\ b=0 & \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} a=0 & \\ b=10 & \end{matrix}\right.$$

Giải ra được nghiệm:

$$(\frac{5\pm \sqrt{21}}{2},\pm \frac{\sqrt{6}}{3});(\pm \frac{\sqrt{6}}{3};\frac{5\pm \sqrt{21}}{2})$$

[noavata]

ĐK: $x,y\neq 0$

 

Đặt $2x+3y=a;xy=b$ hệ trở thành:

 

$\left\{\begin{matrix} \frac{10}{a}+\frac{1}{b}=1(1) & \\ \frac{124}{a^2-12b}-\frac{1}{b^2}=1(2) & \end{matrix}\right.$

 

Từ (1)$\Rightarrow a=\frac{10b}{b-1}$

 

Từ (2)$\Rightarrow 124b^2=(b^2+1)(a^2-12b)$

 

$\Rightarrow 124b^2=(b^2+1)[(\frac{10b}{b-1})^2-12b]$

 

$\Leftrightarrow 31b=(b^2+1)[\frac{25b}{(b-1)^2}-3]$

 

$\Leftrightarrow 3b^4-56b^2+3=0\Leftrightarrow b^2= \frac{28\pm 5\sqrt{31}}{3}$

 

Số xấu quá, mình ngại tính tiếp. Nhưng tới đó thì có thể tìm được a,b sau đó dễ dàng tìm được $x,y$ không biết có nhầm chỗ mô không ?

Mục đích của bài này là làm xuất hiện hệ đối xứng loại I bằng cách làm xuất hiện các dại lượng nghịch đảo. cách giải của bạn cũng rất hay. cám ơn đã tham gia nhe!

[noavata]

Hè Hè cách khác nè anh SOYA264  :

ĐK: $x,y\neq 0$

Phương trình đã cho tương đương với:

$$\left\{\begin{matrix} 10+\frac{2x+3y}{xy} =2x+2y& \\ 124-\frac{4x^{2}+9y^{2}}{x^{2}y^{2}}=4x^{2}+9y^{2} & \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2x-\frac{3}{x})+(3y-\frac{2}{y})=10 & \\ (4x^{2}+\frac{9}{x^{2}})+(9y^{2}+\frac{4}{y^{2}})=124 & \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2x-\frac{3}{x})+(3y-\frac{2}{y})=10 & \\ (2x-\frac{3}{x})^{2}+(3y-\frac{2}{y})^{2}=100 & \end{matrix}\right.$$

Đặt $a=2x-\frac{3}{x}; b=3y-\frac{2}{y}$

Hệ trở thành:

$$\left\{\begin{matrix} a+b=10 & \\ a^{2}+b^{2}=100 & \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=10 & \\ ab=0 & \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=10 & \\ b=0 & \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} a=0 & \\ b=10 & \end{matrix}\right.$$

Giải ra được nghiệm:

$$(\frac{5\pm \sqrt{21}}{2},\pm \frac{\sqrt{6}}{3});(\pm \frac{\sqrt{6}}{3};\frac{5\pm \sqrt{21}}{2})$$

Yes! Cách của bạn Rất đúng ý đồ của bài toán! thanh nhé!