cho x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình $x^{2}-6x+1$,chứng minh rằng $x1^{n}+x2^{n}$ là số nguyên và không chia hết cho 5 với n nguyên dương
giúp đỡ bài toán về quy nạp
#1
Đã gửi 03-08-2013 - 10:30
#2
Đã gửi 03-08-2013 - 10:57
cho x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình $x^{2}-6x+1$,chứng minh rằng $x1^{n}+x2^{n}$ là số nguyên và không chia hết cho 5 với n nguyên dương
theo vi ét ta có
$x_1+x_2=6$ và $x_1.x_2=1$
đặt $S_n =x_1^n+x_2^n$ ta có $S_1 =6$ , $S_2=S_1^2-2x_1.x_2=34$
ta có $S_n=S_(n-1).S_1-xyS_(n-2)=6.S_(n-1).-S_(n-2)$
từ đó ta có $S_1 , S_2 \in Z $ thì $S_n \in Z$
à quên còn cái chia hết cho 5
ta có $S_n=6S_(n-1)-S_(n-2)=6(6_(n-2)-S(n-3))-S_(n-2)=35S_(n-2)-5S_(n-3)-S_(n-3)\Rightarrow S_n+S_(n-3)\vdots 5$
mà ta tính đc $S_1 , S_2 , S_3$ ko chia hết cho 5 do đó $S_n$ ko chia hết cho 5
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 03-08-2013 - 11:17
- nguyencuong123, phatthemkem và naruto10459 thích
tàn lụi
#3
Đã gửi 03-08-2013 - 11:07
theo vi ét ta có
$x_1+x_2=6$ và $x_1.x_2=1$
đặt $S_n =x_1^n+x_2^n$ ta có $S_1 =6$ , $S_2=S_1^2-2x_1.x_2=34$
ta có $S_n=S_(n-1).S_1-S_(n-2)$
từ đó ta có $S_1 , S_2 \in Z $ thì $S_n \in Z$
dòng cuối mình không hiểu lắm,bạn gỉai thích rõ hơn được không
#4
Đã gửi 03-08-2013 - 11:12
dòng cuối mình không hiểu lắm,bạn gỉai thích rõ hơn được không
Mình giải thích cho: Khai triển ra $S_{n-1}.S_{1}-S_{n-2}=(x_{1}^{n-1}+x_{2}^{n-1})(x_{1}+x_{2})-(x_{1}^{n-2}+x_{2}^{n-2})=x_{1}^{2}+x_{2}^{n}$
- Yagami Raito, phatthemkem, phamduytien và 1 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 04-08-2013 - 08:39
theo vi ét ta có
$x_1+x_2=6$ và $x_1.x_2=1$
đặt $S_n =x_1^n+x_2^n$ ta có $S_1 =6$ , $S_2=S_1^2-2x_1.x_2=34$
ta có $S_n=S_(n-1).S_1-xyS_(n-2)=6.S_(n-1).-S_(n-2)$
từ đó ta có $S_1 , S_2 \in Z $ thì $S_n \in Z$
à quên còn cái chia hết cho 5
ta có $S_n=6S_(n-1)-S_(n-2)=6(6_(n-2)-S(n-3))-S_(n-2)=35S_(n-2)-5S_(n-3)-S_(n-3)\Rightarrow S_n+S_(n-3)\vdots 5$
mà ta tính đc $S_1 , S_2 , S_3$ ko chia hết cho 5 do đó $S_n$ ko chia hết cho 5
bạn có thể làm dưới dạng tổng quát cho mình được không,tức là giả sử Sn nguyên với n=k,ban chứng minh giúp mình S(n+1)=6Sn-S(n-1) cũng nguyên
- phatthemkem yêu thích
#6
Đã gửi 04-08-2013 - 08:56
bạn có thể làm dưới dạng tổng quát cho mình được không,tức là giả sử Sn nguyên với n=k,ban chứng minh giúp mình S(n+1)=6Sn-S(n-1) cũng nguyên
Trên là tổng quát rồi mà bạn
- phatthemkem và phamduytien thích
#7
Đã gửi 04-08-2013 - 09:28
Trên là tổng quát rồi mà bạn
mình không hiểu tại sao S1,S2 thuộc Z lại suy ra được Sn thuộc Z
#8
Đã gửi 04-08-2013 - 09:59
mình không hiểu tại sao S1,S2 thuộc Z lại suy ra được Sn thuộc Z
Thì ta có: $S_{1},S_{2}\in Z\Rightarrow S_{3}=6S_{2}-S_{1}\in Z\Rightarrow S_{4}=6S_{3}-S_{2}\in Z\Rightarrow ....S_{n}\in Z$
- phatthemkem, phamduytien và naruto10459 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh