Chủ đề này có 2 trả lời

[bangbang1412]

Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân $y'=\frac{y}{x} + sin\frac{y}{x}$

Thỏa mãn điều kiện ban đầu $y(1)=\frac{\pi}{2}$

[zipienie]

Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân $y'=\frac{y}{x} + sin\frac{y}{x}$

Thỏa mãn điều kiện ban đầu $y(1)=\frac{\pi}{2}$

Đặt $y=zx$ suy ra $dy=zdx+xdz$, hay suy ra là $\frac{dy}{dx}=z+x\frac{dz}{dx}$ (1)

 

Khi đó phương trình đã cho được viết lại thành: $y'=z+\sin z$ , thế (1) vào ta được phương trình

 

$$\sin z=x\frac{dz}{dx} \iff \frac{dz}{\sin z}=\frac{dx}{x}$$

 

Từ đó ta tìm được nghiệm tổng quát là $x=\tan \frac{z}{2}+C$ (2).

 

Thay $z=\frac{y}{x}$ và lấy $\arctan$ hai vế của (2) ta tìm được nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu là $y=2\arctan x+Cx$.

 

Thay điều kiện $y(1)=\frac{\pi}{2}$ thì nghiệm riêng là $\boxed{y=2\arctan x}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zipienie: 12-08-2013 - 20:29

[bangbang1412]

Đặt $y=zx$ suy ra $dy=zdx+xdz$, hay suy ra là $\frac{dy}{dx}=z+x\frac{dz}{dx}$ (1)

 

Khi đó phương trình đã cho được viết lại thành: $y'=z+\sin z$ , thế (1) vào ta được phương trình

 

$$\sin z=x\frac{dz}{dx} \iff \frac{dz}{z}=\frac{dx}{x}$$

 

Từ đó ta tìm được nghiệm tổng quát là $x=\tan \frac{z}{2}+C$ (2).

 

Thay $z=\frac{y}{x}$ và lấy $\arctan$ hai vế của (2) ta tìm được nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu là $y=2\arctan x+Cx$.

 

Thay điều kiện $y(1)=\frac{\pi}{2}$ thì nghiệm riêng là $\boxed{y=2\arctan x}$.

bị nhầm 1 dòng trước khi lấy tích phân kìa là sinz chứ k phải z