Chủ đề này có 8 trả lời

[E. Galois]

Topic này dùng để BTC nhận đề thi từ các toán thủ thi đấu về Ứng dụng của đạo hàm

 

 

I- Bạn cần biết:

1) Điều lệ giải đấu

2) Lịch thi đấu

3) Đăng kí thi đấu

 

II - Yêu cầu về đề bài
1. Hình thức:

- Đề bài phải có đáp án kèm theo.

- Đề bài và đáp án được gõ $\LaTeX$ rõ ràng

2. Nôi dung

* Đối với MHS

- Mỗi bộ đề bao gồm 1 câu của THPT. Kiến thức dùng để giải bài không vượt quá kiến thức thi tuyển sinh ĐH.

- Đề bài không được ở dạng thách đố, cách giải ngặt ngèo thông qua những bổ đề quá khó, không copy nguyên văn từ đề thi ĐH của Bộ GD&ĐT, đề thi Olympic hoặc HSG cấp tỉnh trở lên.

- Toán thủ không nên copy đề bài từ một topic nào đó của VMF, không được post lại đề đã nộp ra topic mới dù cho đề có được chọn hay không.

 

III - Mẫu đăng kí và nộp đề

1. Họ và tên thật:

2. Đang học lớp ?, trường ?, huyện ?, tỉnh ?

3. Đề 

4. Đáp án

 

IV - Chú ý

1) Bạn sẽ thấy ở trên khung trả lời của bạn có dòng sau Bài viết này phải qua kiểm duyệt của quản trị viên mới được đăng lên diễn đàn.

Điều này có nghĩa là các toán thủ khi nộp đề, cứ yên tâm rằng, sau khi đánh máy và ấn nút GỬI BÀI là đề đã được lưu, BTC đã nhận được đề của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể biết trước đề của bạn được.

 

2) Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi $\LaTeX$ trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa. 

 

3) Nếu đề bài của bạn không được chấp nhận, BTC sẽ làm hiện nó và nói rõ lý do vì sao, khi đó, bạn phải nộp đề khác. 

Nếu đề bài của bạn được chấp nhận, bạn sẽ thấy tên mình trong danh sách thi đấu tại đây sau mỗi thứ 7 hàng tuần.

 

4) Mỗi tuần, BTC chỉ cho phép toán thủ đăng kí 1 nộp đề cho 1 chủ đề nên bạn đừng ngạc nhiên khi thấy có lúc topic này bị khóa

 

 

[25 minutes]

1, Họ và tên : Trần Hoàng Anh

2, Học sinh lớp $12A1$, trường THPT chuyên KHTN, ( Nam Định )

3, Đề bài : Xác định $m$ để đồ thị hàm số sau có cực đại, cực tiểu và bình phương các hoành độ lớn hơn $15$

                  $y=\frac{x^4}{4}-mx^3-\frac{3x^2}{2}+(3m+2)x-11$

4, Đáp án : Xét hàm $y=\frac{x^4}{4}-mx^3-\frac{3x^2}{2}+(3m+2)x-11$

               $\Rightarrow y'=x^3-3mx^2-3x+3m+2=0$ (1)

Khi đó phương trình (1) có $3$ nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_1^2+x_2^2+x_3^2>15$

Ta có $\Rightarrow y'=(x-1)\left [ x^2-(3m-1)x-3m-2 \right ]=0$

          $\Leftrightarrow x=1,g(x)=x^2-(3m-1)x-3m-2=0$ (2)

Trước hết phương trình (1) có $3$ nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có $2$ nghiệm phân biệt khác $1$

                  $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta _g> 0\\ g(1)\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\neq 0$ (*)

Với ĐK đó, áp dụng định lí Vi-et ta có 

                $\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+x_3=3m\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-3 \\x_1x_2x_3=-3m-2 \end{matrix}\right.$

Khi đó $x_1^2+x_2^2+x_3^2 > 15\Leftrightarrow \Leftrightarrow 9m^2+6> 15\Leftrightarrow \left | m \right |> 1$

Vậy các giá trị của $m$ thỏa mãn là $\left | m \right |> 1$

 

 

BTC không chấp nhận đề thi này 

Lí do

MHS là cuộc thi không dành cho học sinh lớp chuyên toán

T/m BTC: E.Galois

 

[sweetparadise]

Đề: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} y^{3}+y=x^{3}+3x^{2}+4x+2 (1) & \\ \sqrt{1-x^{2}}-\sqrt{y}=\sqrt{2-y}-1(2)& \end{matrix}\right.$

Giải: Điều kiện: $-1\leq x\leq 1; 0\leq y\leq 2$

(1) $\Leftrightarrow$ y^{3}+y=(x+1)^{3}+(x+1)

\Leftrightarrow f(y)=f(x+1) y=x+1 \in \begin{bmatrix}

0;2

\end{bmatrix}

f(t)=t^{3}+t

f'(t)=3t^{2}+1\geq 0\forall t\in \mathbb{R}

\Rightarrow \left\{\begin{matrix}

f(t)\begin{bmatrix}

0;\mathbb{R}

\end{bmatrix} & \\ 

 f(y)=f(x+1)& 

\end{matrix}\right.

\Rightarrow y=x+1

(2)\Leftrightarrow \sqrt{1-x^{2}}-\sqrt{x+1}=\sqrt{1-x}-1

\Leftrightarrow \sqrt{x+1}(\sqrt{1-x}-1)-(\sqrt{1-x}-1)=0

\Leftrightarrow (\sqrt{1-x}-1)(\sqrt{x+1}-1)=0

\Leftrightarrow \begin{bmatrix}

\sqrt{1-x}-1=0 & \\ 

 \sqrt{x+1}-1=0& 

\end{bmatrix}

\Leftrightarrow x=0\Rightarrow y=1

 

 

BTC không chấp nhận đề thi này 

Lí do

- Lỗi $\LaTeX$

- Không rõ tên, lớp

T/m BTC: E.Galois

 

 

[19kvh97]

Đề Ứng dụng của đạo hàm của toán thủ MHS03:

Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z\epsilon [0;2] & & \\ x+y+z=3 & & \end{matrix}\right.$

Tìm GTLN,GTNN của biểu thức $F=2(x+1)^2+2(y+9)^2+(z-97)^2$

Đáp Án:

$x+y+z=3\Rightarrow z=3-x-y$ mà $z\epsilon [0;2]$ suy ra $1-y\leq x\leq 3-y$

Xét hàm $f(x)=2(x+1)^2+2(y+9)^2+(x+y+94)^2$ với $y$ là tham số 

$f'(x)=6x+2y+192>0$ (do $x,y\geq0$)

suy ra $f(x)$ đồng biến trên  $[0;2]$

Nên ta có:

+) $f(x)\geq f(1-y)=4y^2+28y+9195=g(y)$ 

$g'(y)=8y+28>0 \vee y\geq 0$ nên $g(y)\geq g(0)=9195$

suy ra $f(x)\geq 9195$ ĐTXR khi $\left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=0 & & \\ z=2 & & \end{matrix}\right.$

Vậy $minF=9195$ ĐTXR khi $\left\{\begin{matrix}x=1 &  & \\ y=0 &  & \\ z=2 &  & \end{matrix}\right.$

+)$f(x)\leq f(3-y)=4y^2+20y+9603=h(y)$

$h'(y)=8y+20>0 \vee y\geq 0$ suy ra $h(y)\leq h(2)=9699$

nên $f(x)\leq9699$ ĐTXR khi $\left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=2 & & \\ z=0 & & \end{matrix}\right.$

Vậy $maxF=9699$ ĐTXR khi $\left\{\begin{matrix}x=1 &  & \\y=2 &  & \\z=0 &  & \end{matrix}\right.$

 

 

[Tran Hoai Nghia]

tên: Trần Hoài Nghĩa

trường-lớp: 12t1-thpt Cái Nước-cà mau

đề: tìm giới hạn:$K=\lim_{x\rightarrow \frac{4\pi }{9}}\frac{1+2\cos 3x}{\cos x+1-2\cos ^{2}\frac{2\pi }{9}}$

lời giải:Gọi $f(x)=1+2\cos 3x$.Ta có:$f'(x)=-6\sin 3x$

$f'(\frac{4\pi }{9})=3\sqrt{3};f(\frac{4\pi }{9})=0$

Gọi $g(x)=\cos x\Rightarrow g'(x)=-\sin x;g'(\frac{4\pi }{9})=-\sin \frac{4\pi }{9};g(\frac{4\pi }{9})=2\cos ^{2}\frac{2\pi }{9}-1$.

Như thế giới hạn đã cho được viết lại:$K=\frac{\lim_{x\rightarrow \frac{4\pi }{9}}\frac{f(x)-f(\frac{4\pi }{9})}{x-\frac{4\pi }{9}}}{\lim_{x\rightarrow \frac{4\pi }{9}}\frac{g(x)-g(\frac{4\pi }{9})}{x-\frac{4\pi }{9}}}=\frac{f'(\frac{4\pi }{9})}{g'(\frac{4\pi }{9})}=\frac{3\sqrt{3}}{-\sin \frac{4\pi }{9}}$.

[25 minutes]

1, Họ và tên : Trần Hoàng Anh

2, Học sinh lớp : $12A1$

3, Đề bài : Cho $y=\frac{-x^3}{3}+x^2(m-1)+x(m-3)-4$

Xác định $m$ để hàm đồng biến trong khoảng $(0,3)$

4, Đáp án : Ta có $y'=f(x)=x^2+2x(m-1)+(m-3)$

Xét $\Delta _x=(m-1)^2-m+3=m^2-3m+4>0,\forall m$

Vậy $f(x)$ có $2$ nghiệm $x_1<x_2$

Để hàm đồng biến trong $(0,3)$ $\Leftrightarrow x_1<0<3

          $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y'(0)\geqslant \\ y'(3)\geqslant 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m-3\geqslant 0\\ -9+6m-6+m-3\geqslant 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\geqslant 3$

Vậy với $m \geqslant 3$ thoả mãn yêu cầu đề bài

 

Đoạn tô màu trên CD13 không hiểu!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 30-08-2013 - 07:49

[motdaica]

1, Họ và tên : Phạm Ngọc Quang Anh

2, Học sinh lớp 11a6,THPT Phan Đình Phùng ,quận Ba Đình ,Hà Nội12A

3, Đề bài :Cho hàm số y=$2x^{3}+9mx^{2}+12m^{2}x+1$(m là tham số).Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại $x_{CD}$và cực tiểu tại $x_{CT}$ sao cho $x_{CD}^{2}=x_{CT}$

4.Đáp án:Tập xác định $x\in \mathbb{R}$

Ta có: Hàm số có cực trị <=>y'=0 có 2 nghiệm phân biệt <=>$6x^{2}+18mx+12m^{2}=0$ <=>$6(x+2m)(x+m)=0$<=>$m\neq 0$

Khi đó hàm số có hai cực trị tại x=-m và x=-2m

Xét 2 trường hợp:

TH1:m>0 khi đó-2m<-m nên $x_{CD}=-2m$và $x_{CT}=-m$  suy ra $4m^{2}=-m$ hay m=0 (không thỏa mãn) hoặc $m=-\frac{1}{4}$ (không thỏa mãn)

TH2:m<0 khi đó -m<-2m nên $x_{CD}=-m$ và $x_{CT}=-2m$ suy ra $m^{2}=-2m$ hay m=0(không thõa mãn) hoặc m=-2 (thỏa mãn)

Vậy m=-2 thì hàm số có cực đại và cực tiểu thõa mãn : $x_{CD}^{2}=x_{CT}$

[nhatlinh3005]

Họ và tên:Bùi Nhật Linh.

Lớp: 11K1

Trường:THPT Phan Chu Trinh

Nơi ở hiện nay: Thôn 6, xã Earal, Huyện Eahleo, tỉnh Đăk Lăk.

*Đề: Cho hàm số  $y=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{m}{2}x^{2}-2x+1$

Tìm m để bất phương trình  $x^{2}-1> 0$  thoả mãn với x thuộc khoảng tăng của hàm số y.

 

*Lời giải:

 

   Ta có: $x^{2}-1> 0\Leftrightarrow x< -1 \vee x> 1 \Leftrightarrow x\in \bigl(\begin{smallmatrix} -\infty ;-1 \end{smallmatrix}\bigr) \cup \bigl(\begin{smallmatrix} 1;+\infty \end{smallmatrix}\bigr)$

 

Ta có: y'=$x^{2}$+mx-2

$y'=0\Leftrightarrow x_{1}=\frac{-m-\sqrt{m^{2}+8}}{2}\vee x_{2}=\frac{-m+\sqrt{m^{2}+8}}{2}$

 

 untitled.bmp   736.55K   1 Số lần tải

Vậy để y tăng trên các khoảng $\left (- \infty;{x_{1}} \right )\cup \left ( x_{2};+\infty \right )$

Để $x^{2}$-1>0   đúng    $\forall x\in \left (- \infty;{x_{1}} \right )\cup \left ( x_{2};+\infty \right )$ thì ta phải có:

$x_{1 }\leq -1< 1\leq x_{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(-1)\leq 0\\ f(1)\leq 0 \end{matrix}\right.$         (với $f(x)=x^{2}+mx-2$)

                                    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -m-1\leq 0\\ m-1\leq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -1\leq m\leq 1$

Kết luận: $-1\leq m\leq 1$

 

 

CD13 hỏi: Có được dùng so sánh nghiệm tam thức bậc 2 với số thực theo công thức như trên không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 30-08-2013 - 07:51

[BoFaKe]

$1$.Họ và tên :Nguyễn Công Linh.

$2$.Học sinh lớp $10A9$ trường THPT Đông Sơn $I$,huyện Đông Sơn,tỉnh Thanh Hóa.

$3$.Đề bài: Cho hàm số : $y=x^{3}-3x^{2}+2$.Xác định $m$ để điểm cực đại và cực tiểu của hàm số ở hai phía khác nhau (trong và ngoài) của đường tròn : $(C):x^{2}+y^{2}-2mx-4my+5m^{2}-1=0$.

 

$4$.Đáp án :

TXĐ :$D=\mathbb{R}$

Đạo hàm :

$y'=3x^{2}-6x=0\Leftrightarrow x_{1}=0\vee x_{2}=2$

Vì qua $x_{1};x_{2}$ đạo hàm đổi dấu nên hàm số có cực đại cực tiểu có tọa độ $A(0;2);B(2;-2)$

Để $A;B$ ở hai phía khác nhau của đường tròn thì :

$P_{A/(C)}.P_{B/(C)}< 0\Leftrightarrow (4-8m+5m^{2}-1)(4+4-4m+8m+5m^{2}-1)< 0\Leftrightarrow (5m^{2}-8m+3)(5m^{2}+4m+7)< 0\Leftrightarrow \frac{3}{5}< m< 1$.

Đáp số : $$\boxed{\frac{3}{5}< m< 1}$$