Chủ đề này có 1 trả lời

[gogeta]

Tìm a, b nguyên dương thỏa mãn: $\frac{a^2-2}{ab+2}\in\mathbb{Z}$.

[nguyencuong123]

Mình xin làm :

Xét a=1. Ta tìm được nghiệm (a,b).Xét $a\geq 1$ thì $\frac{a^{2}-2}{ab+2}\in Z^{+}$

Vì a,b nguyên dương nên a,b khác 0.Ta có:$\frac{a^{2}-2}{ab+2}\in Z^{+}\Leftrightarrow \frac{a^{2}b-2b}{ab+2}\in Z^{+}\Leftrightarrow \frac{a(ab+2)-2(a+b)}{ab+2}\in Z^{+}\Leftrightarrow \frac{2(a+b)}{ab+2}\in Z^{+}\Leftrightarrow 2(a+b)=k(ab+2)$ Với $k\geq 1,k\in Z$

Xét k= 1 thì $2a+2b=ab+2\Leftrightarrow (a-2)(2-b)=-2$.Ta tìm được a,b

Xét k=2 thì$2a+2b\geq 2ab+4\Leftrightarrow (a-1)(1-b)\geq 1$ mà do b nguyên dương nên $b\geq 1\Rightarrow (1-b)\leq 0$ mà $a\geq 1\Rightarrow (a-1)\geq 0$ nên $(a-1)(1-b)\leq 0$ nên với k$\geq$2 thì phương trình không có nghiệm nguyên. Kết thúc chứng minh.   Ở đây nghiệm a,b bạn tìm nhé     

                                                                                                                                                                                                                

                                Uchiha Itachi