Chủ đề này có 7 trả lời

[banhgaongonngon]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ IX

MÔN: TOÁN - LỚP: 10

Ngày thi: 02 tháng 08 năm 2013

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm: 01 trang

 

Bài 1. (5 điểm)

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} y^{3}+3x^{2}y=-28\\ x^{2}-6xy+y^{2}=6x-10y \end{matrix}\right.$

 

Bài 2. (5 điểm)

Cho tia $Ax$ và điểm $B$ cố định sao cho góc $BAx$ nhọn, điểm $C$ chạy trên tia $Ax$.

Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$, $AC$ theo thứ tự ở $M$ và $N$.

Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

Bài 3. (4 điểm)

Cho $x,y,z\in (0,1)$. Chứng minh rằng:

$\left ( x-x^{2} \right )\left ( y-y^{2} \right )\left ( z-z^{2} \right )\geq (x-yz)(y-zx)(z-xy)$

 

Bài 4. (4 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m,n)$ sao cho $m^{2}+n^{2}=p$ là số nguyên tố và $m^{3}+n^{3}-4$ chia hết cho $p$.

 

Bài 5. (2 điểm)

Trên mạng lưới ô vuông vô hạn người ta điền vào mỗi ô vuông cơ sở một số thực sao cho mỗi số này bằng trung bình cộng của bốn số ở bốn ô vuông cơ sở có cạnh kề với nó.

a. Chứng minh rằng: Nếu các số được điền vào các ô vuông cơ sở là những số nguyên dương thì các số đó phải bằng nhau.

b. Nếu các số được điền là các số hữu tỉ thì các số được điền vào các ô vuông cơ sở có cạnh kề với nó, có nhất thiết phải bằng nhau không? Giải thích?

 

[Ispectorgadget]

 

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ IX

MÔN: TOÁN - LỚP: 10

Ngày thi: 02 tháng 08 năm 2013

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm: 01 trang

 

Bài 5. (2 điểm)

Trên mạng lưới ô vuông vô hạn người ta điền vào mỗi ô vuông cơ sở một số thực sao cho mỗi số này bằng trung bình cộng của bốn số ở bốn ô vuông cơ sở có cạnh kề với nó.

a. Chứng minh rằng: Nếu các số được điền vào các ô vuông cơ sở là những số nguyên dương thì các số đó phải bằng nhau.

 

 

 

Xét tập hợp các số được điên. Đây là tập số tự nhiên khác rỗng nên theo nguyên lý cực hạn tồn tại số nhỏ nhất kí hiệu là $a$.

 

Giả sử kết luận bài toán không đúng như vậy tức là các số được điền không phải bằng nhau tất cả. Như vậy sẽ cp1 ,pt65 p6 chứa a mà trong 4 ô có cạnh chung với nó sẽ có ít nhất 1 số $b\neq a$.

 

Giả sử 3 ô còn lại có cạnh chung với ô chứa số $a$ là $c,d,e$.

 

Ta có: $b>a,c\ge a,d\ge a,e\ge a$ như vậy $\Rightarrow a<\frac{a+b+c+d}{4}$

 

Bất đẳng thức trên mâu thuẫn giả thiết bài toán như vậy ta có điều cần chứng minh. $\square$

 

 

[Zaraki]

Xem bài 4 tại: http://diendantoanho...-nam-2012-2013/

[henry0905]

 

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ IX

MÔN: TOÁN - LỚP: 10

Ngày thi: 02 tháng 08 năm 2013

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm: 01 trang

 

Bài 1. (5 điểm)

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} y^{3}+3x^{2}y=-28\\ x^{2}-6xy+y^{2}=6x-10y (2)\end{matrix}\right.$

 

 

Xét $y=0$

Với $y\neq 0$. hệ tương đương:

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (y^{3}+1)+3(x^{2}y+9) =0& \\ (2).3y=3(x^{2}y+9)+3(y^{3}+1)+6(y+1)(5y-3xy-5)=0 & \end{matrix}\right.$

$ \Rightarrow 2(y^{3}+1)+6(y+1)(5y-3xy-5)=0$

$ \Leftrightarrow (y+1)(y^{2}-y+1+15y-9xy-15)=0 $

$\Leftrightarrow (y+1)(y^{2}-9xy+14y-14)=0$

$\begin{bmatrix} y=-1\ & \\ y^{2}-9xy+14y-14=0 & \end{bmatrix}$

$\left\{\begin{matrix} y^{2}-9xy+14y-14=0 & \\  y^{2}-6xy+10y+x^{2}-6x=0 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (y+1)(y+13)-9(xy+3)=0 & \\  \frac{3}{2}(y+1)(y+9)-9(xy+3)+\frac{3}{2}(x-3)^{2}=0 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^{2}-6xy+10y+x^{2}-6x=0 & \\  (y+1)^{2}+(x-3)^{2}=0 & \end{matrix}\right.$

Sau đó tìm nghiệm được $(x;y)=(3;-1);(-3;-1)$

[quangdung1997]

cách khác cho bài hệ

Phương trình 2 $\Leftrightarrow 3x^{2}-18x(y+1)+3y^2+30y=0$

Lấy $(1)+(2)$ ta được $(y+1)(y^{2}+2y+28)+3x^2(y+1)-18x(y+1)=0$

$\Leftrightarrow (y+1)(y^2+2y+28+3x^2-18x)=0$

$\Rightarrow y=-1$ hoặc $(y+1)^2+3(x-3)^2=0$

Từ đó suy ra hệ có 2 nghiệm $(x;y=(3;-1);(-3;-1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangdung1997: 05-08-2013 - 15:26

[henry0905]

cách khác cho bài hệ

Phương trình 2 $\Leftrightarrow 3x^{2}-18x(y+1)+3y^2+30y=0$

Lấy $(1)+(2)$ ta được $(y+1)(y^{2}+2y+28)+3x^2(y+1)-18x(y+1)=0$

$\Leftrightarrow (y+1)(y^2+2y+28+3x^2-18x)=0$

$\Rightarrow y=-1$ hoặc $(y+1)^2+3(x-3)^2=0$

Từ đó suy ra hệ có 2 nghiệm $(x;y=(3;-1);(-3;-1)$

Còn cách khác nữa (có thể dài hơn).

Đặt $\frac{x}{y}=a;\frac{1}{y}=b$

Hệ tương tương:

$\left\{\begin{matrix} 1+3a^{2}=-28b^{3} (1) & \\ -3a^{2}+18a-3=30b-18ab  (2)& \end{matrix}\right.$

$(1)+(2)=(b+1)(14b^{2}-14b-1+9a)=0$

[nhatduy01]

sao không ai giải bài bđt vậy? làm mãi mà không ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatduy01: 09-08-2013 - 10:21

[haitienbg]

BDT tương đương$\geq$ x(x-yz)(y-z)² + y(y-xz)(x-z)² + z(z-yx)(x-y)² \geq 0

 

Giả sử x  y  z, ta có x > x²  \geq

 

yz suy ra x-yz >0.

Nếu yz(y-zx)(z-xy) <0 ta có BDT đúng

Nếu yz(y-zx)(z-xy) \geq

 

0 ta có y(y-zx) và z(z-xy) đều dương.

Thật vậy nếu y(y-zx)<0, z(z-xy)<0 thì y<zx, z<xy suy ra yz<yz.x² \Rightarrow 

 

 x>1 (vô lí)