Bài 1: Hàm số $ y = x^4 +mx^2 - (m+1) (C_m) $
a) Tìm m để đồ thị $(C_m)$ tiếp xúc với đường thẳng $y = 2x-2$ tại điểm có hoành độ $x = 1$.
b) Hãy biện luận số nghiệm của phương trình: $x^4(1-x^2)=1-k$
Giải
a) Đặt $f(x) = y = x^4 +mx^2 - (m+1)$ xác định trên R.
Ta có: $f’(x) = 4x^3 + 2mx$
Khi đó: $(C_m)$ tiếp xúc với (d): $y = 2x - 2$ tại điểm có hoành độ bằng 1 khi:
$\left\{\begin{matrix}f(1) = 2.1 - 2 = 0\\f’(1) = 2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}0 = 0 ™ \\4 + 2m = 2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow m = -1$
Vậy $m = -1$ là giá trị cần tìm.
b) Không biết là đề có bị nhầm không nhỉ? Mà thôi, cứ làm theo đề bạn đưa cũng được hén
- Phương trình tương đương: $x^6 - x^4 + 1 = k$
- Số nghiệm của phương trình trên là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^6 - x^4 + 1$ và đường thẳng $y = k$.
- Xét hàm số: $y = x^6 - x^4 + 1$
- TXĐ: D = R
- $\lim_{x \rightarrow \pm \infty} = + \infty$
- $y’ = 6x^5 - 4x^3$; $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm \sqrt{\dfrac{2}{3}}$
- Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.
Do $y = k$ song song với Ox nên ta có thể biện luận như sau:
+ Nếu $k < \dfrac{23}{27}$, phương trình vô nghiệm.
+ Nếu $k = \dfrac{23}{27}$ hoặc $x > 1$, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
+ Nếu $\dfrac{23}{27} < k < 1$, phương tình có 4 nghiệm phân biệt.
+ Nếu $k = 1$, phương trình có 3 nghiệm phân biệt.