Chủ đề này có 5 trả lời

[25 minutes]

Cho $a,b,c,d>0$ và $abcd=1$

Chứng minh rằng

             $\frac{1}{1+a+a^2+a^3}+ \frac{1}{1+b+b^2+b^3}+ \frac{1}{1+c+c^2+c^3}+ \frac{1}{1+d+d^2+d^3}\geqslant 1$

[bangbang1412]

Đổi biến $(a;b;c;d)=(\frac{ab}{c^{2}};\frac{bc}{d^{2}};\frac{cd}{a^{2}};\frac{ad}{b^{2}})$

Thay vào bất đẳng thức và dùng cauchy - schwarz ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau :

                                            $\frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3})^{2}}{\sum (a^{2}b^{2}+c^{4})(ab+c^{2})}\geq 1$

Hay                                      $\frac{\sum a^{6}+\sum a^{3}b^{3}}{\sum a^{6}+abc^{4}+bcd^{4}+dca^{4}+adb^{4}+a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}d^{3}+d^{3}a^{3}+\sum a^{2}b^{2}c^{2}}\geq 1$

Tương đương với :

                                            $2\sum a^{3}b^{3}\geq \sum abc^{4}+a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}d^{3}+d^{3}a^{3}+\sum a^{2}b^{2}c^{2}$

Bằng AM - GM ; ta chứng minh được : 

                                            $\sum a^{3}b^{3}\geq \frac{3}{2}a^{2}b^{2}c^{2}$

Chỉ cần chứng minh $\frac{1}{2}\sum a^{2}b^{2}c^{2}+a^{3}c^{3}+b^{3}d^{3}\geq \sum abc^{4}$

[Ha Manh Huu]

Đổi biến $(a;b;c;d)=(\frac{ab}{c^{2}};\frac{bc}{d^{2}};\frac{cd}{a^{2}};\frac{ad}{b^{2}})$

Thay vào bất đẳng thức và dùng cauchy - schwarz ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau :

                                            $\frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3})^{2}}{\sum (a^{2}b^{2}+c^{4})(ab+c^{2})}\geq 1$

Hay                                      $\frac{\sum a^{6}+\sum a^{3}b^{3}}{\sum a^{6}+abc^{4}+bcd^{4}+dca^{4}+adb^{4}+a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}d^{3}+d^{3}a^{3}+\sum a^{2}b^{2}c^{2}}\geq 1$

Tương đương với :

                                            $2\sum a^{3}b^{3}\geq \sum abc^{4}+a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}d^{3}+d^{3}a^{3}+\sum a^{2}b^{2}c^{2}$

Bằng AM - GM ; ta chứng minh được : 

                                            $\sum a^{3}b^{3}\geq \frac{3}{2}a^{2}b^{2}c^{2}$

Chỉ cần chứng minh $\frac{1}{2}\sum a^{2}b^{2}c^{2}+a^{3}c^{3}+b^{3}d^{3}\geq \sum abc^{4}$

làm nốt đi chứ phép CM chưa hoàn tất 

mà hình như đôi lúc bạn nhầm thì phải $\sum $ của 4 biến hay 3 biến  mà cũng chưa hiểu rõ nội dung bạn CM cuối là j

[vutuanhien]

Bài này đã có ở đây rồi mà:http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/96910-psum-frac11aa2a3geq-1/

[hoctrocuanewton]

Đổi biến $(a;b;c;d)=(\frac{ab}{c^{2}};\frac{bc}{d^{2}};\frac{cd}{a^{2}};\frac{ad}{b^{2}})$

Thay vào bất đẳng thức và dùng cauchy - schwarz ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau :

                                            $\frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3})^{2}}{\sum (a^{2}b^{2}+c^{4})(ab+c^{2})}\geq 1$

Hay                                      $\frac{\sum a^{6}+\sum a^{3}b^{3}}{\sum a^{6}+abc^{4}+bcd^{4}+dca^{4}+adb^{4}+a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}d^{3}+d^{3}a^{3}+\sum a^{2}b^{2}c^{2}}\geq 1$

Tương đương với :

                                            $2\sum a^{3}b^{3}\geq \sum abc^{4}+a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}d^{3}+d^{3}a^{3}+\sum a^{2}b^{2}c^{2}$

Bằng AM - GM ; ta chứng minh được : 

                                            $\sum a^{3}b^{3}\geq \frac{3}{2}a^{2}b^{2}c^{2}$

Chỉ cần chứng minh $\frac{1}{2}\sum a^{2}b^{2}c^{2}+a^{3}c^{3}+b^{3}d^{3}\geq \sum abc^{4}$

 Cho mình hỏi vì sao có thể biến: (a,b,c,d)=($\frac{ab}{c^{2}};\frac{bc}{d^{2}};\frac{cd}{a^{ 2}};\frac{da}{b^{2}}$ )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 06-08-2013 - 20:08

[nguyencuong123]

 Cho mình hỏi vì sao có thể biến: (a,b,c,d)=($\frac{ab}{c^{2}};\frac{bc}{d^{2}};\frac{cd}{a^{ 2}};\frac{da}{b^{2}}$ )

Thì thế vần đảm bảo được abcd=1 thôi.đây là cách biến rồi thường được sử dụng khi cho tích =1