Cho $a,b,c,d>0$ và $abcd=1$
Chứng minh rằng
$\frac{1}{1+a+a^2+a^3}+ \frac{1}{1+b+b^2+b^3}+ \frac{1}{1+c+c^2+c^3}+ \frac{1}{1+d+d^2+d^3}\geqslant 1$
Cho $a,b,c,d>0$ và $abcd=1$
Chứng minh rằng
$\frac{1}{1+a+a^2+a^3}+ \frac{1}{1+b+b^2+b^3}+ \frac{1}{1+c+c^2+c^3}+ \frac{1}{1+d+d^2+d^3}\geqslant 1$
Đổi biến $(a;b;c;d)=(\frac{ab}{c^{2}};\frac{bc}{d^{2}};\frac{cd}{a^{2}};\frac{ad}{b^{2}})$
Thay vào bất đẳng thức và dùng cauchy - schwarz ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau :
$\frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3})^{2}}{\sum (a^{2}b^{2}+c^{4})(ab+c^{2})}\geq 1$
Hay $\frac{\sum a^{6}+\sum a^{3}b^{3}}{\sum a^{6}+abc^{4}+bcd^{4}+dca^{4}+adb^{4}+a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}d^{3}+d^{3}a^{3}+\sum a^{2}b^{2}c^{2}}\geq 1$
Tương đương với :
$2\sum a^{3}b^{3}\geq \sum abc^{4}+a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}d^{3}+d^{3}a^{3}+\sum a^{2}b^{2}c^{2}$
Bằng AM - GM ; ta chứng minh được :
$\sum a^{3}b^{3}\geq \frac{3}{2}a^{2}b^{2}c^{2}$
Chỉ cần chứng minh $\frac{1}{2}\sum a^{2}b^{2}c^{2}+a^{3}c^{3}+b^{3}d^{3}\geq \sum abc^{4}$
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Đổi biến $(a;b;c;d)=(\frac{ab}{c^{2}};\frac{bc}{d^{2}};\frac{cd}{a^{2}};\frac{ad}{b^{2}})$
Thay vào bất đẳng thức và dùng cauchy - schwarz ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau :
$\frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3})^{2}}{\sum (a^{2}b^{2}+c^{4})(ab+c^{2})}\geq 1$
Hay $\frac{\sum a^{6}+\sum a^{3}b^{3}}{\sum a^{6}+abc^{4}+bcd^{4}+dca^{4}+adb^{4}+a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}d^{3}+d^{3}a^{3}+\sum a^{2}b^{2}c^{2}}\geq 1$
Tương đương với :
$2\sum a^{3}b^{3}\geq \sum abc^{4}+a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}d^{3}+d^{3}a^{3}+\sum a^{2}b^{2}c^{2}$
Bằng AM - GM ; ta chứng minh được :
$\sum a^{3}b^{3}\geq \frac{3}{2}a^{2}b^{2}c^{2}$
Chỉ cần chứng minh $\frac{1}{2}\sum a^{2}b^{2}c^{2}+a^{3}c^{3}+b^{3}d^{3}\geq \sum abc^{4}$
làm nốt đi chứ phép CM chưa hoàn tất
mà hình như đôi lúc bạn nhầm thì phải $\sum $ của 4 biến hay 3 biến mà cũng chưa hiểu rõ nội dung bạn CM cuối là j
tàn lụi
Bài này đã có ở đây rồi mà:http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/96910-psum-frac11aa2a3geq-1/
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
Đổi biến $(a;b;c;d)=(\frac{ab}{c^{2}};\frac{bc}{d^{2}};\frac{cd}{a^{2}};\frac{ad}{b^{2}})$
Thay vào bất đẳng thức và dùng cauchy - schwarz ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau :
$\frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3})^{2}}{\sum (a^{2}b^{2}+c^{4})(ab+c^{2})}\geq 1$
Hay $\frac{\sum a^{6}+\sum a^{3}b^{3}}{\sum a^{6}+abc^{4}+bcd^{4}+dca^{4}+adb^{4}+a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}d^{3}+d^{3}a^{3}+\sum a^{2}b^{2}c^{2}}\geq 1$
Tương đương với :
$2\sum a^{3}b^{3}\geq \sum abc^{4}+a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}d^{3}+d^{3}a^{3}+\sum a^{2}b^{2}c^{2}$
Bằng AM - GM ; ta chứng minh được :
$\sum a^{3}b^{3}\geq \frac{3}{2}a^{2}b^{2}c^{2}$
Chỉ cần chứng minh $\frac{1}{2}\sum a^{2}b^{2}c^{2}+a^{3}c^{3}+b^{3}d^{3}\geq \sum abc^{4}$
Cho mình hỏi vì sao có thể biến: (a,b,c,d)=($\frac{ab}{c^{2}};\frac{bc}{d^{2}};\frac{cd}{a^{ 2}};\frac{da}{b^{2}}$ )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 06-08-2013 - 20:08
Cho mình hỏi vì sao có thể biến: (a,b,c,d)=($\frac{ab}{c^{2}};\frac{bc}{d^{2}};\frac{cd}{a^{ 2}};\frac{da}{b^{2}}$ )
Thì thế vần đảm bảo được abcd=1 thôi.đây là cách biến rồi thường được sử dụng khi cho tích =1
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh