Chủ đề này có 3 trả lời

[Vo Sy Nguyen]

Cho a, b,c là các số thực dương sao cho abc$\geq$1. Chứn minh rằng:

$\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vo Sy Ngueyn: 05-08-2013 - 22:09

[nguyencuong123]

Mình làm luôn.

Không mất tính tổng quát ta chỉ cần chứng minh bđt trong trường hợp abc=1 là được$\frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}=\frac{a^{5}-a^{2}.abc}{a^{5}+(b^{2}+c^{2})abc}=\frac{a^{4}-a^{2}bc}{a^{4}+(b^{2}+c^{2}bc)}\geq \frac{2a^{4}-a^{2}(b{2}+c^{2})}{2a^{4}+(b^{2}+c^{2})^{2}}$

đặt $x=a^{2},y=b^{2},z=c^{2}$.Khi đó ta cần chứng minh:$\displaystyle{\sum \frac{2a^{2}-a(b+c)}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\geq 0\Leftrightarrow \sum (a-b)(\frac{a}{2a^{2}+(b+c)^{2}}-\frac{b}{2b^{2}+(c+a)^{2}})\geq 0\Leftrightarrow \sum (a-b)^{2}.\frac{c^{2}+ac+bc+a^{2}+b^{2}-ab}{(2a^{2}+(b+c)^{2})(2b^{2}+(c+a)^{2})}\geq 0}$

(Luôn đúng theo S.O.S)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyencuong123: 05-08-2013 - 22:26

[lovemath99]

BDt cần cm có thể viết lại thành:

$$\sum \dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^5+b^2+c^2} \le 3 \\ \iff  \sum \dfrac{1}{a^5+b^2+c^2} \le \dfrac{3}{a^2+b^2+c^2}$$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$$ (a^5+b^2+c^2)(\dfrac{1}{a}+b^2+c^2) \ge  (a^2+b^2+c^2)^2$$

$$\to \dfrac{1}{a^5+b^2+c^2}\le  \dfrac{\dfrac{1}{a}+b^2+c^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}$$

Suy ra:

$$ \sum \dfrac{1}{a^5+b^2+c^2} \le  \dfrac{ \sum \dfrac{1}{a}+2 \sum a^2}{(a^2+b^2+c^2)^2} \\ \iff \sum \dfrac{1}{a} \le \sum a^2 $$

Vì $abc \ge1$ và $\sum ab \le \sum a^2$ nên $$\sum \dfrac{1}{a} \le \sum \dfrac{abc}{a} =\sum ab \le \sum a^2$$

$$\iff Q.E.D$$

Dấu "=" $\iff a=b=c=1$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemath99: 05-08-2013 - 22:40

[nhatduy01]

Đây là IMO 2005

            Lời giải

Vì $\frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}=1-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}$

Nên ta có thể viết lại bđt cần chứng minh thành

           $\sum \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leq 3$

Sử dụng Cauchy Schwarz và điều kiện $abc\geq 1$ ,ta có

      $(a^{5}+b^{2}+c^{2})(bc+b^{2}+c^{2})\geq (a^{2}\sqrt{abc}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

   $\Rightarrow \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{bc+b^{2}+c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

  $\Rightarrow \sum \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leq 2+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Từ đây bài toan qui về chứng minh $ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Đây là 1 bđt hiển nhiên đúng

Vậy ta có ĐPCM.