Chủ đề này có 2 trả lời

[AnnieSally]

Cho $a,b\epsilon R$, xác định tất cả hàm số $f(x)$ sao cho: $f(a-x)+f(x)=b,\forall x\epsilon R (1)$

[Strygwyr]

Cho $a,b\in R$, xác định tất cả hàm số $f(x)$ sao cho: $f(a-x)+f(x)=b,\forall x\in R (1)$

Phương trình đã cho tương đương với 

$f(a-x)-\frac{b}{2}+f(x)-\frac{b}{2}=0$

Đặt $g(x)=f(x)-\frac{b}{2}$ với $\forall x\in \mathbb{R}$, ta có :

$g(x)+g(a-x)=0$

$\Leftrightarrow g(x)=\frac{1}{2}(g(x)-g(a-x))$ $(2)$

Xét hàm số : $g(x)=\frac{1}{2}(h(x)-h(a-x))$ với $h$ là một hàm số tuỳ ý trên $\mathbb{R}$. Suy ra $f(x)=\frac{1}{2}(h(x)-h(a-x))+\frac{b}{2}$ $(3)$

Dễ thấy với hàm số $f$ xác định như trên thì thoả mãn ($1$). Ngược lại với hàm số $f$ thoả mãn $(1)$ thì theo $(2)$ nên $f$ có dạng $(3)$

Vậy tất cả các hàm số $f$ thoả mãn đề bài là $f(x)=\frac{1}{2}(h(x)-h(a-x))+\frac{b}{2}$ với $h$ là một hàm số tuỳ ý trên $\mathbb{R}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Strygwyr: 06-08-2013 - 12:23

[AnnieSally]

Phương trình đã cho tương đương với 

$f(a-x)-\frac{b}{2}+f(x)-\frac{b}{2}=0$

Đặt $g(x)=f(x)-\frac{b}{2}$ với $\forall x\in \mathbb{R}$, ta có :

$g(x)+g(a-x)=0$

$\Leftrightarrow g(x)=\frac{1}{2}(g(x)-g(a-x))$ $(2)$

Xét hàm số : $g(x)=\frac{1}{2}(h(x)-h(a-x))$ với $h$ là một hàm số tuỳ ý trên $\mathbb{R}$. Suy ra $f(x)=\frac{1}{2}(h(x)-h(a-x))+\frac{b}{2}$ $(3)$

Dễ thấy với hàm số $f$ xác định như trên thì thoả mãn ($1$). Ngược lại với hàm số $f$ thoả mãn $(1)$ thì theo $(2)$ nên $f$ có dạng $(3)$

Vậy tất cả các hàm số $f$ thoả mãn đề bài là $f(x)=\frac{1}{2}(h(x)-h(a-x))+\frac{b}{2}$ với $h$ là một hàm số tuỳ ý trên $\mathbb{R}$.

Á chết nãy làm nhầm

Thôi đăng câu cuối z

$Vậy$ $f(x)=g(x-\frac{a}{2})+\frac{b}{2},$ $trong$ $đó$ $g(x)$ $là$ $hàm$ $số$ $lẻ$ $tùy$ $ý$ $trên$ $\mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 06-08-2013 - 18:34