Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(x) \vdots g(x) \Leftrightarrow b = 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 06-08-2013 - 12:43

Cho $n$ là số nguyên dương chẵn $\geq 2$ và $a,b \in \mathbb{R}$ thoả: $b^n = 3a + 1$. Hãy chứng minh:

$f(x) = (x^2+x+1)^n - x^n - a \ \vdots q(x) \ = x^3 + x^2 + x + b \Leftrightarrow b = 1$ !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 06-08-2013 - 12:44

"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 07-08-2013 - 22:38



Cho $n$ là số nguyên dương chẵn $\geq 2$ và $a,b \in \mathbb{R}$ thoả: $b^n = 3a + 1$. Hãy chứng minh:

$f(x) = (x^2+x+1)^n - x^n - a \ \vdots q(x) \ = x^3 + x^2 + x + b \Leftrightarrow b = 1$ !

Em chém cái phần đảo, phần thuận em chưa nghĩ ra.

Với $b=1$ thì $a=0$. Khi đó $$f(x)=(x^2+x+1)^{2k}-x^{2k}= \left[ x^4+x^2-1 + 2(x^3+x^2+x+1) \right]^k-x^{2k} = (x+1)^k(x^3+x^2+x+1)^kA$$ chia hết cho $g(x)=x^3+x^2+x+1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 07-08-2013 - 22:41

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#3 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 20-08-2013 - 16:44

Cho $n$ là số nguyên dương chẵn $\geq 2$ và $a,b \in \mathbb{R}$ thoả: $b^n = 3a + 1$. Hãy chứng minh:
$f(x) = (x^2+x+1)^n - x^n - a \ \vdots q(x) \ = x^3 + x^2 + x + b \Leftrightarrow b = 1$ !

+Với các nghiệm khác $0$ $(b\neq 0)$
- Ta có: $f(x)\vdots g(x)\Leftrightarrow f(z)=0$ ( Với $z$ là một nghiệm bất kì của $g(x)$ )
- Nhận xét: $g(x)$ là đa thức bậc $3$ với $g'(x)=3x^2+2x+1=2x^2+(x+1)^2>0\forall x$,
$g(x)$ có 1 nghiệm thực $z_1$ và 1 cặp nghiệm phức liên hợp $z_2$ và $\bar{z_2}$
- Trở lại bài toán, xét nghiệm $z$ của $g(x)$ và để ý $n$ là số chẵn nguyên dương:
$(1)$ $g(z)=z^3+z^2+z+b=0\Leftrightarrow (z^3+z^2+z)^n=b^n$
$(2)$ $f(z)=(z^2+z+1)^n-z^n-a=0\\\Leftrightarrow (z^3+z^2+z)^n-z^{2n}-az^n=0\\(3)\Leftrightarrow -z^{2n}-az^n+b^n=0$
- Xét $(3)$ là phương trình bậc hai theo biến $z^n$, $a_{(3)}c_{(3)}=-b^n\le 0$ ( $n$ chẵn )
Mọi nghiệm $z^n$ của phương trình $(3)$ luôn là số thực , áp dụng cho cả $z$ phức!
- Theo định lý Viète cho phương trình $(1)$: $z_1 z_2 \bar{z_2}=-b\Leftrightarrow z_1^n z_2^n \bar{z_2}^n=z_1^nz_2^{2n}=(-b)^n=b^n (*)$
- Xét $z_1^n$ và $z_2^n$ phân biệt, ta có 2 nghiệm của $(3)$, theo định lý Viète: $z_1^n z_2^n=-b^n(**)$ và $z_1^n+z_2^n=-a$
- Giải $(*)$ và $(**)$, ta có $z_2^n=-1$ và $z_1^n=b^n$; Thế vào $z_1^n+z_2^n=-a=b^n-1=3a\Leftrightarrow a=0$
Và $b^n=1\Leftrightarrow b=\pm 1$, kết hợp điều kiện nghiệm thực $z_1^n=b^n$, ta có $b=1$
- Với $z_1^n=z_2^n$
, kết hợp với $(*)$, $z_1^{3n}=b^n\Leftrightarrow \pm \sqrt[3]{b}= z_1$
- Thế lại $(1)$, ta có : $2(\sqrt[3]{b})^3+(\sqrt[3]{b})^2+\sqrt[3]{b}=0$ hoặc $(\sqrt[3]{b})^2+\sqrt[3]{b}=0$
Với $b\neq 0$, có $b=1$ !
+Tồn tại nghiệm $0$: $b=0$
-Tương tự, ta lập $(2)$ với nghiệm $0$: $1-a=0\Leftrightarrow a=1$
Lại có $b^n=3a+1$ theo giả thuyết, mâu thuẫn ...
_________
Như vậy, ta có $b=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 20-08-2013 - 17:25

^^~




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh