Chủ đề này có 2 trả lời

[BlackSelena]

Cho $n$ là số nguyên dương chẵn $\geq 2$ và $a,b \in \mathbb{R}$ thoả: $b^n = 3a + 1$. Hãy chứng minh:

$f(x) = (x^2+x+1)^n - x^n - a \ \vdots q(x) \ = x^3 + x^2 + x + b \Leftrightarrow b = 1$ !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 06-08-2013 - 12:44

[Zaraki]

Cho $n$ là số nguyên dương chẵn $\geq 2$ và $a,b \in \mathbb{R}$ thoả: $b^n = 3a + 1$. Hãy chứng minh:

$f(x) = (x^2+x+1)^n - x^n - a \ \vdots q(x) \ = x^3 + x^2 + x + b \Leftrightarrow b = 1$ !

Em chém cái phần đảo, phần thuận em chưa nghĩ ra.

Với $b=1$ thì $a=0$. Khi đó $$f(x)=(x^2+x+1)^{2k}-x^{2k}= \left[ x^4+x^2-1 + 2(x^3+x^2+x+1) \right]^k-x^{2k} = (x+1)^k(x^3+x^2+x+1)^kA$$ chia hết cho $g(x)=x^3+x^2+x+1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 07-08-2013 - 22:41

[robin997]

Cho $n$ là số nguyên dương chẵn $\geq 2$ và $a,b \in \mathbb{R}$ thoả: $b^n = 3a + 1$. Hãy chứng minh:
$f(x) = (x^2+x+1)^n - x^n - a \ \vdots q(x) \ = x^3 + x^2 + x + b \Leftrightarrow b = 1$ !

+Với các nghiệm khác $0$ $(b\neq 0)$
- Ta có: $f(x)\vdots g(x)\Leftrightarrow f(z)=0$ ( Với $z$ là một nghiệm bất kì của $g(x)$ )
- Nhận xét: $g(x)$ là đa thức bậc $3$ với $g'(x)=3x^2+2x+1=2x^2+(x+1)^2>0\forall x$,
$g(x)$ có 1 nghiệm thực $z_1$ và 1 cặp nghiệm phức liên hợp $z_2$ và $\bar{z_2}$
- Trở lại bài toán, xét nghiệm $z$ của $g(x)$ và để ý $n$ là số chẵn nguyên dương:
$(1)$ $g(z)=z^3+z^2+z+b=0\Leftrightarrow (z^3+z^2+z)^n=b^n$
$(2)$ $f(z)=(z^2+z+1)^n-z^n-a=0\\\Leftrightarrow (z^3+z^2+z)^n-z^{2n}-az^n=0\\(3)\Leftrightarrow -z^{2n}-az^n+b^n=0$
- Xét $(3)$ là phương trình bậc hai theo biến $z^n$, $a_{(3)}c_{(3)}=-b^n\le 0$ ( $n$ chẵn )
Mọi nghiệm $z^n$ của phương trình $(3)$ luôn là số thực , áp dụng cho cả $z$ phức!
- Theo định lý Viète cho phương trình $(1)$: $z_1 z_2 \bar{z_2}=-b\Leftrightarrow z_1^n z_2^n \bar{z_2}^n=z_1^nz_2^{2n}=(-b)^n=b^n (*)$
- Xét $z_1^n$ và $z_2^n$ phân biệt, ta có 2 nghiệm của $(3)$, theo định lý Viète: $z_1^n z_2^n=-b^n(**)$ và $z_1^n+z_2^n=-a$
- Giải $(*)$ và $(**)$, ta có $z_2^n=-1$ và $z_1^n=b^n$; Thế vào $z_1^n+z_2^n=-a=b^n-1=3a\Leftrightarrow a=0$
Và $b^n=1\Leftrightarrow b=\pm 1$, kết hợp điều kiện nghiệm thực $z_1^n=b^n$, ta có $b=1$
- Với $z_1^n=z_2^n$, kết hợp với $(*)$, $z_1^{3n}=b^n\Leftrightarrow \pm \sqrt[3]{b}= z_1$
- Thế lại $(1)$, ta có : $2(\sqrt[3]{b})^3+(\sqrt[3]{b})^2+\sqrt[3]{b}=0$ hoặc $(\sqrt[3]{b})^2+\sqrt[3]{b}=0$
Với $b\neq 0$, có $b=1$ !
+Tồn tại nghiệm $0$: $b=0$
-Tương tự, ta lập $(2)$ với nghiệm $0$: $1-a=0\Leftrightarrow a=1$
Lại có $b^n=3a+1$ theo giả thuyết, mâu thuẫn ...
_________
Như vậy, ta có $b=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 20-08-2013 - 17:25