Chủ đề này có 3 trả lời

[kldlkvipmath]

CMR : $[2a]+[2b]\geq [a]+[b]+[a+b]$

[nguyencuong123]

Bài này mình xin làm: Ta có: Xét $a,b\geq 0$ và $a,b\leq 0$ thì ta dễ dàng mở ngoặc và dấu bằng xảy ra

Xét $a>0>b$  thì bđt trở thành $2a-2b\geq a-b+\begin{vmatrix} a+b \end{vmatrix}\Leftrightarrow a-3b\geq \begin{vmatrix} a+b \end{vmatrix}$. Xét $\left | a \right |\geq \left | b \right |\Rightarrow a+b\geq 0\rightarrow \left | a+b \right |=a+b$ nên bđt trở thành $a-3b\geq a+b\Leftrightarrow -4b\geq 0$ luôn đúng vì b<0.Xét $\left | a \right |<\left | b \right |\Rightarrow \left | a+b \right |=-a-b$ nên bđt trở thành $a-3b\geq -a-b\Leftrightarrow 2a-2b\geq 0\Leftrightarrow a\geq b$ luôn đúng theo giả sử trên.Vậy bđt hoàn tất chứng minh

[Juliel]

Bài này mình xin làm: Ta có: Xét $a,b\geq 0$ và $a,b\leq 0$ thì ta dễ dàng mở ngoặc và dấu bằng xảy ra

Xét $a>0>b$  thì bđt trở thành $2a-2b\geq a-b+\begin{vmatrix} a+b \end{vmatrix}\Leftrightarrow a-3b\geq \begin{vmatrix} a+b \end{vmatrix}$. Xét $\left | a \right |\geq \left | b \right |\Rightarrow a+b\geq 0\rightarrow \left | a+b \right |=a+b$ nên bđt trở thành $a-3b\geq a+b\Leftrightarrow -4b\geq 0$ luôn đúng vì b<0.Xét $\left | a \right |<\left | b \right |\Rightarrow \left | a+b \right |=-a-b$ nên bđt trở thành $a-3b\geq -a-b\Leftrightarrow 2a-2b\geq 0\Leftrightarrow a\geq b$ luôn đúng theo giả sử trên.Vậy bđt hoàn tất chứng minh

Hình như ông lầm rồi Cường, chắc nhầm dấu phần nguyên với dấu giá trị tuyệt đối rồi.

 

CMR : $[2a]+[2b]\geq [a]+[b]+[a+b]$

Bổ đề : Ta luôn có $[2x]$ bằng $2[x]$ hoặc $2[x] + 1$

Chứng minh :

• Nếu $\left \{ x \right \}<0,5$

Thì $$2x-2[x]=2\left ( [x] +\left \{ x \right \}\right )-2[x]=2\left \{ x \right \}<1\Rightarrow 2x<2[x]+1$$

Mặt khác hiển nhiên $2[x]\leq 2x$

Tức là $2[x]\leq 2x<2[x]+1\Rightarrow [2x]=2[x]$

• Nếu $\left \{x \right \}>0,5$

Thì $$2x-2[x]=2\left \{ x \right \}>1\Rightarrow 2[x]+1<2x$$

Mặt khác luôn có $\left \{ x \right \}<1\Rightarrow 2x-2[x]=2\left \{ x \right \}<2\Rightarrow 2x<2[x]+2$

Tức là $2[x]+1<2x<2[x]+2$

Suy ra $[2x]=2[x]+1$

 

Trở lại bài toán :

• Trường hợp 1 : $[2a] = 2[a]$ và $[2b] = 2[b]$ :

Điều cần chứng minh viết thành :

$$[a]+[b]+[a+b]\leq 2[a]+2[b]\Leftrightarrow [a+b]\leq [a]+[b]$$

Thật vậy, $$0\leq \left \{ a \right \},\left \{ b \right \}<1\Rightarrow 0\leq \left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}<2$$

- Nếu $0\leq \left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}<1$

Thì $[x+y] = [x]+[y](=x+y)$

- Nếu  $1\leq \left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}<2$ thì $0\leq \left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}-1<1\Rightarrow 0\leq (a+b)-([a]+[b]+1)<1\Rightarrow [a]+[b]+1\leq a+b\leq [a]+[b]+2\Rightarrow [a+b]=[a]+[b]+1$

Tóm lại là ta luôn có $[a]+[b]\leq [a+b]$

Trường hợp này được chứng minh

• Trường hợp 2 : $[2a]=2[a];[2b]=2[b]+1$

Điều cần chứng minh viết thành : $2[a]+2[b]+1\geq [a]+[b]+[a+b]\Leftrightarrow [a+b]\leq [a]+[b]+1$.

Hiển nhiên đúng vì đã có $[a]+[b]\leq [a+b]$

• Trường hợp 3 :$[2a]=2[a]+1;[2b]=2[b]$

Tương tự trường hợp 2

• Trường hợp 4 : $[2a]=2[a]+1;[2b]=2[b]+1$

Điều cần chứng minh viết thành : $[a+b]\leq [a]+[b]+2$

Hiển nhiên đúng vì đã có $[a]+[b]\leq [a+b]$

 

Ta có đpcm. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 06-08-2013 - 22:02

[nguyencuong123]

Hình như ông lầm rồi Cường, chắc nhầm dấu phần nguyên với dấu giá trị tuyệt đối rồi.

 

Bổ đề : Ta luôn có $[2x]$ bằng $2[x]$ hoặc $2[x] + 1$

Chứng minh :

• Nếu $\left \{ x \right \}<0,5$


•  

Thì $2x-2[x]=2\left ( [x] +\left \{ x \right \}\right )-2[x]=2\left \{ x \right \}<1\Rightarrow 2x<2[x]+1$

Mặt khác hiển nhiên $2[x]\leq 2x$

Tức là $2[x]\leq 2x<2[x]+1\Rightarrow [2x]=2[x]$

• Nếu $\left \{x \right \}>0,5$


•  

Thì $2x-2[x]=2\left \{ x \right \}>1\Rightarrow 2[x]+1<2x$

Mặt khác luôn có $\left \{ x \right \}<1\Rightarrow 2x-2[x]=2\left \{ x \right \}<2\Rightarrow 2x<2[x]+2$

Tức là $2[x]+1<2x<2[x]+2$

Suy ra $[2x]=2[x]+1$

Trở lại bài toán :

• Trường hợp 1 : $[2a] = 2[a]$ và $[2b] = 2[b]$ :


•  

Điều cần chứng minh viết thành :

$[a]+[b]+[a+b]\leq 2[a]+2[b]\Leftrightarrow [a+b]\leq [a]+[b]$

Thật vậy, $0\leq \left \{ a \right \},\left \{ b \right \}<1\Rightarrow 0\leq \left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}<2$

- Nếu $0\leq \left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}<1$

Thì $[x+y] = [x]+[y](=x+y)$

- Nếu  $1\leq \left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}<2$ thì $0\leq \left \{ a \right \}+\left \{ b \right \}-1<1\Rightarrow 0\leq (a+b)-([a]+[b]+1)<1\Rightarrow [a]+[b]+1\leq a+b\leq [a]+[b]+2\Rightarrow [a+b]=[a]+[b]+1$

Tóm lại là ta luôn có $[a]+[b]\leq [a+b]$

Trường hợp này được chứng minh

• Trường hợp 2 : $[2a]=2[a];[2b]=2[b]+1$


•  

Điều cần chứng minh viết thành : $2[a]+2[b]+1\geq [a]+[b]+[a+b]\Leftrightarrow [a+b]\leq [a]+[b]+1$.

Hiển nhiên đúng vì đã có $[a]+[b]\leq [a+b]$

• Trường hợp 3 :$[2a]=2[a]+1;[2b]=2[b]$


•  

 

Tương tự trường hợp 2

• Trường hợp 4 : $[2a]=2[a]+1;[2b]=2[b]+1$


•  

Điều cần chứng minh viết thành : $[a+b]\leq [a]+[b]+2$

Hiển nhiên đúng vì đã có $[a]+[b]\leq [a+b]$

 

Ta có đpcm. 

Nản hầy.Phần nguyên này thì không quen.  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyencuong123: 06-08-2013 - 21:30