Chủ đề này có 23 trả lời

[mrwin99]

Một số bài tập về phương trình nghiêm nguyên

 

Bài 1: Tìm các cặp số nguyên $(x,y)$ thoar mãn đẳng thức $y(x-1)=x^2+2$

Bài 2: Tìm các chữ số $a,b,c$ biết rằng $\sqrt{\overline{abc}}=(a+b)\sqrt{c}$

Bài 3 : Tìm các giá trị nguyên $x,y$ thoả mãn đẳng thức $(y+2)x^2+1=y^2$

Bài 4 : Cho $f(x)=ax^2+bx+c$ có tính chất : $f(x)$nhận giá trị nguyên khi $x$ là số nguyên.Hỏi các hệ số $a,b,c$ có nhất thiết là các số nguyên hay không? Vì sao?

Bài 5: Tìm các số nguyên không âm $x,y$ thoả mãn đẳng thức $x^2=y^2+\sqrt{y+1}$

 

[Yagami Raito]

Một số bài tập về phương trình nghiêm nguyên

 

Bài 1: Tìm các cặp số nguyên $(x,y)$ thoả mãn đẳng thức $y(x-1)=x^2+2$

 

 

$\Leftrightarrow xy-y-x^2-2=0\Leftrightarrow (x-1)(y-x-1)=3$

 

Tới đây ta xét các trường hợp là ra

[duongtoi]

Bài 5: Tìm các số nguyên không âm $x,y$ thoả mãn đẳng thức $x^2=y^2+\sqrt{y+1}$

Ta có $(x-y)(x+y)=\sqrt{y+1}>0$.

Suy ra $x>y$.

Suy ra $x\ge 1$ nên $x+y\ge y+1\ge 1$.

Mặt khác, $x-y>0$ nên $x-y\ge 1$.

Do đó, $(x-y)(x+y)\ge y+1\ge\sqrt{y+1}$.

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $y+1=1;x+y=y+1;x-y=1$.

Tức là $x=1;y=0$.

[nguyencuong123]

Bài 3 làm nốt: $PT\Leftrightarrow x^{2}(y+2)+1-y^{2}=0\Leftrightarrow x^{2}(y+2)+(4-y^{2})=3\Leftrightarrow (x^{2}+2-y)(2+y)=3$.đến đây thì chỉ còn việc xét ứơc

[bangbang1412]

Bài 4 : $f(1)=a+b+c$ ; $f(0)=c$ nên c nguyên do đó a + b nguyên ; $f(-1)=a-b+c$ nên a - b nguyên do đó a ; b ; c nguyên 

[duongtoi]

Bài 3 : Tìm các giá trị nguyên $x,y$ thoả mãn đẳng thức $(y+2)x^2+1=y^2$

 

Ta có $x^2(y+2)=(y-1)(y+1)$.

TH1: Nếu $y\ge 0$.

Ta có $y+2> y+1>y-1\ge 0$.

Do đó, PT chỉ xảy ra khi $x=0$.

Suy ra, $y=1$.

TH2: Nếu $y<0$.

Ta có, nếu $y<-1$ thì $y^2-1>0; (y+2)x^2\le 0$

Suy ra vô nghiệm.

Nếu $y=-1$ thì $x=0$ thỏa mãn.

Vậy có hai nghiệm $x=0;y=-1$ và $x=0;y=1$.

[Yagami Raito]

Bài 2

Ta có:  $(a+b)^{2}c=10\overline{ab}+c$ hay $\left | (a+b)^{2}-1 \right |c=10\overline{ab}$

 

Nếu $\overline{ab}$ không chia hết cho $3$ thì $(a+b)$ cũng không chia hết cho $3$, do đó: $(a+b)^{2}$ khi chia cho $3$ còn dư $1$, từ đó $(a+b)^{2}-1$ chia hết cho $3$, suy ra $ab$ chia hết cho $3$, trái giả thiết

 

Vậy $ab$ chia hết cho $3$, nên $(a+b),c$ đều chia hết cho $3$

 

Vì $1\leq a+b\leq 18$, do đó:

 

- Nếu $a+b$ lấy giá trị $12,15,18$ thì $10\overline{ab}$ chia hết cho $143, 224, 323$ khi đó $\overline{ab}$ chia hết cho $143,224,323$ là điều vô lí vì $\overline{ab}$ là số có hai chữ số

 

- Nếu $a+b=3$ thì $8c=10\overline{ab}$. Đẳng thức này không xảy ra vì vế trái là số có một chữ số, vế phải là số có ba chữ số

 

- Nếu $a+b=6$ thì $7c=2\overline{ab}=20a+2b=18a+12$. Phương trình này không có nghiệm nguyên

 

- Nếu $a+b=9$ thì $8c=\overline{ab}=9a+9$, suy ra $c=9,a=7,b=2$

 

Bộ ba số $a=7,b=2,c=9$ thoả mãn đề bài

[duongtoi]

Bài 2: Tìm các chữ số $a,b,c$ biết rằng $\sqrt{\overline{abc}}=(a+b)\sqrt{c}$

Suy ra $c$ là số chính phương nên $c=\{0;1;4;9\}$.

TH1: $c=0$ suy ra $a=b=0$.  (không biết TH này có dc nhận nghiệm không vì không nói rõ $\overline{abc}$ bắt buộc là số có ba chữ số, Theo mình là nhận nghiệm này)

TH2: $c=1$. Suy ra, $\sqrt{\overline{abc}}$ có chữ số tận cùng là 1.

Do đó $a+b$ có chữ số tận cùng là 1. Có các TH sau: $a+b=1+0=0+1=1$ hoặc $a+b=2+9=3+8=4+7=5+6$.

Mặt khác $\overline{abc}=(a+b)^2c$ là số chính phương nên $\overline{abc}$ có dạng $4k$ hoặc $4k+1$.

Nên ta được $\overline{abc}$ có dạng $4k+1$ nên $a=3;b=8$ hoặc $a=5;b=7$.

Các số là $381;741$.

Thử lại, thì hai số này loại.

TH3: $c=4$.

Ta có $\overline{ab4}\equiv a+b+1\mod 3$ và $4(a+b)^2\equiv (a+b)^2\mod 3$.

TH này vô nghiệm.

TH4: $c=9$

[canhhoang30011999]

Bài 4 : $f(1)=a+b+c$ ; $f(0)=c$ nên c nguyên do đó a + b nguyên ; $f(-1)=a-b+c$ nên a - b nguyên do đó a ; b ; c nguyên 

khong the tu a+b nguyen va a-b nguyen de suy ra a,b nguyen duoc

[bangbang1412]

khong the tu a+b nguyen va a-b nguyen de suy ra a,b nguyen duoc

a+b nguyên ; a-b nguyên nên (a+b)+(a-b) = 2a nguyên (tổng 2 số nguyên là 1 số nguyên ) nên a nguyên 

[canhhoang30011999]

theo mình thì a+b nguyên ,a-b nguyên $\Rightarrow 2b,2a$ là số nguyên

$\Rightarrow a= \frac{a_{1}}{2}$$b= \frac{b_{1}}{2}$$\Rightarrow ax^{2}+bx= \frac{a_{1}x^{2}+b_{1}x}{2}$ là số nguyên

$\Leftrightarrow a_{1},b_{1} cung tinh chan le$

=>a,b,c không nhất thiết là số nguyên

[canhhoang30011999]

a+b nguyên ; a-b nguyên nên (a+b)+(a-b) = 2a nguyên (tổng 2 số nguyên là 1 số nguyên ) nên a nguyên 

2a nguyên thì không thể nói a nguyên VD 3 nguyên nhưng 1,5 không nguyên

[mrwin99]

Bài 6 : Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho $x^2-nx+2002=n$ có nghiệm nguyên

Bài 7: Tìm số $n$ nguyên dương thoả mãn $\sqrt{(3+2\sqrt{2})^{n}}+\sqrt{(3-2\sqrt{2})^{n}}=6$

Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 

$$2x^6-2x^3y+y^2=64$$

Bài 9: Tìm $x,y$ nguyên thoả mãn đẳng thức $2y^2x+x+y+1=x^2+2y^2+xy$

Bài 10: Tìm $x,y$ nguyên thoả mãn $x^2+5y^2+2y-4xy-3=0$

Bài 11 : Tìm nghiêm nguyên phương trình $xy-2y-3=3x-x^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 09-08-2013 - 11:21

[Simpson Joe Donald]

 

Bài 7: Tìm số $n$ nguyên dương thoả mãn $\sqrt{(3+2\sqrt{2})^{n}}+\sqrt{(3-2\sqrt{2})^{n}}=6$

 

Nhận xét: $(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=1$

Đặt: $\sqrt{(3-2\sqrt{2})^x}=a>0$

PT trở thành:

$a+\dfrac{1}{a}=6\iff a^2-6a+1=0 \iff \left[ \begin{array}{l} a=3-2\sqrt{2} \\ a=3+2\sqrt{2} \end{array}\right.$

[Yagami Raito]

Bài 11 : Tìm nghiêm nguyên phương trình $xy-2y-3=3x-x^2$

Phương trình tương đương
$$y(x-2)+x(x-3)=3(2)$$
Với $x=2$ $(2)\Leftrightarrow -2=3$ (vô lý)

Với $x$ khác $2$ thì $(2)\Leftrightarrow y=\frac{-x^2+3x+3}{x-2}=\frac{-(x-2)^2-(x+1)}{x-2}=-x-2-\frac{x+1}{x-2}$
Do $y$ là số nguyên nên $\frac{x+1}{x-2}$ nguyên $\Leftrightarrow (x+1)\vdots (x-2)\Leftrightarrow 3\vdots (x-2)$

Tới đây tiếp tục giải và ta có phương trình có nghiệm nguyên $(x,y)\epsilon \boxed{(3;3),(-3;3),(1;-5),(7;-5)}$

Bài 6 : Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho $x^2-nx+2002=n$ có nghiệm nguyên

Phương trình tương đương $x^2-nx+(2002-n)=0$
Ta có $\Delta =n^2-8008n+4n=(n+2)^2-8012$
Nhận thấy để phương trình có nghiệm nguyên thì $\Delta =(n+2)^2-8012$ là 1 một số chính phương
Tức là phương trình $(n+2)^2-8012=a^2$ phải có nghiệm ($a\epsilon \mathbb{N}$)
$\Leftrightarrow (n+2+a)(n+2-a)=8012=2003.4$
Do $(n+2+a) \geq (n+2-a)$ và $(n+2+a)+(n+2-a)=2n+4$ nên $(n+2+a);(n+2-a) $ cùng tính chẵn lẻ.
Vậy chỉ xảy ra TH
$\left\{\begin{matrix} n+2+a=4006 & & \\ n+2-a=2 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow n=2002$
Thay vào pt ta có
$$x^2-2002x=0$$
$x=0$hoặc $x=2002$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 10-08-2013 - 08:15

[letankhang]

 

Bài 11 : Tìm nghiêm nguyên phương trình $xy-2y-3=3x-x^2$

Bài 11 :

$gt\Rightarrow xy-x^{2}-2y-2x-x-3=0\Rightarrow x(y-x)-2(y-x)-(x-2)=5\Rightarrow (x-2)(y-x-1)=5$

Tới đây bạn chỉ cần xét ước để tìm nghiệm nguyên của $PT$

[letankhang]

 

Bài 10: Tìm $x,y$ nguyên thoả mãn $x^2+5y^2+2y-4xy-3=0$

 

Bài 10 :

$gt\Rightarrow x^{2}-4xy+4y^{2}+y^{2}+2y+1-4=0\Rightarrow (x-2y)^{2}+(y+1)^{2}=4$

Do : $x;y\epsilon \mathbb{Z}\Rightarrow (x-2y)^{2};(y+1)^{2}$ phải là số chính phương 

$\Rightarrow (x-2y)^{2};(y+1)^{2}\epsilon \left \{ 0;4 \right \}$

Từ đây ta có thể dễ dàng giải tiếp. 

[letankhang]

 

Bài 9: Tìm $x,y$ nguyên thoả mãn đẳng thức $2y^2x+x+y+1=x^2+2y^2+xy$

 

Chém luôn bài 9 vậy

$gt\Rightarrow x^{2}+2y^{2}+xy-2y^{2}x-x-y-1=0\Rightarrow (x^{2}-x)-(2y^{2}x-2y^{2})+(xy-y)=1\Rightarrow (x-1)(x-2y^{2}+y)=1$

Tới đây ta chỉ cần xét ước để tìm nghiệm nguyên của $PT$

[letankhang]

 

Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 

$$2x^6-2x^3y+y^2=64$$

 

$gt\Rightarrow x^{6}+x^{6}-2x^{3}y+y^{2}=64\Rightarrow x^{6}+(x^{3}-y)^{2}=64$

Dễ thấy $-2\leq x\leq 2$ ( do tại $x=2;x=-2$ thì $x^{6}=64$ và $x^{6}$; $(x^{3}-y)^{2}\geq 0$ )

Chỉ cần xét các trường hợp để tìm nghiệm nguyên của $x;y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 10-08-2013 - 08:49

[Ha Manh Huu]

em sai rồi em $f(0)=c$ nguyên nên $c$ nguyên

còn a ,b ko nhất thiết nguyên ví dụ cho $a=b=\frac{1}{2}$ thì $PT\Leftrightarrow \frac{x^2}{2}+\frac{x}{2}+c= \frac{x(x+1)}{2}\in Z$ do đó bài em bị sai