Đến nội dung

Hình ảnh

Cho hàm số: $y=x^{4}+2mx^{2}+1 (C_{m})$.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
nucnt772

nucnt772

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 209 Bài viết

Cho hàm số: $y=x^{4}+2mx^{2}+1 (C_{m})$. Tìm các giá trị cùa tham số m để $(C_{m})$ có 3 điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm này có bán kính bằng 1.


cnt

#2
pigloo

pigloo

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết

Cho hàm số: $y=x^{4}+2mx^{2}+1 (C_{m})$. Tìm các giá trị cùa tham số m để $(C_{m})$ có 3 điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm này có bán kính bằng 1.

 

Ta có : $y ' = 4x^3 + 4mx = 4x(x^2 + m)$

 

$y' = 0 \Leftrightarrow  x = 0 \ hay \  x^2 = m$

 

Để hs có 3 cực trị thì y' = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt, khi và chỉ khi m > 0.

 

G/s 3 điểm cực trị là $A(0;1); \ B(\sqrt{m}; m^2 + 2m + 1); \ C(-\sqrt{m}; m^2 + 2m + 1)$

 

Dễ thấy tam giác ABC cân tại A. Gọi $ H(0;m^2 + 2m + 1)$ là trung điểm BC

 

Ta có $R = \dfrac{AB.AC.BC}{4.\dfrac{1}{2}.AH.BC} = \frac{AB^2}{2AH}  $

 

$\Leftrightarrow (m+1)(m^3 + 3m^2 + 5m + 2) = 0$

 

Thấy 2 nghiệm đều có giá trị âm :D ko biết sai chỗ nào :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pigloo: 07-08-2013 - 17:39

- bọt biển -

 


#3
nucnt772

nucnt772

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 209 Bài viết

Ta có : $y ' = 4x^3 + 4mx = 4x(x^2 + m)$

 

$y' = 0 \Leftrightarrow  x = 0 \ hay \  x^2 = m$

 

Để hs có 3 cực trị thì y' = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt, khi và chỉ khi m > 0.

Chỗ này bạn nhầm chút xíu nè.

ta có: $y'=4x(x+m^{2})$

$y'=0$ $\Leftrightarrow$ $x=0$ hay $x=-m^{2}$

Hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ $m< 0$

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị là: $A(0;1)$, $B(-\sqrt{-m};1-m^{2})$, $C(\sqrt{-m};1-m^{2})$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nucnt772: 07-08-2013 - 18:59

cnt

#4
nucnt772

nucnt772

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 209 Bài viết

ta có: $y'=4x^{3}+4mx$$=4x(x^{2}+m)$

$y'=0$ $\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x^{2}=-m$

Để hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m< 0$

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

$A(0;1)$, $B(-\sqrt{-m};1-m^{2})$, $C(\sqrt{-m};1-m^{2})$

Dễ thấy $\Delta ABC$ cân tại A. Gọi D là trung điểm của BC $\Rightarrow AD\perp BC$

Xét $\Delta ADC$ vuông ta có: $sinC=\frac{AD}{AC}$

 

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ và ta có $R=1$ , áp dụng định lý sin trong $\Delta ABC$, ta có:

$\frac{AB}{sinC}=2R$ $\Leftrightarrow \frac{AB.AC}{AD}=2$ $\Leftrightarrow \frac{AC^{2}}{AD}=2$

 

$\Leftrightarrow -m+m^{4}=2m^{2}$ $\Leftrightarrow m^{3}-2m-1=0$ $\Leftrightarrow (m+1)(m^{2}-m-1)=0$

$\Leftrightarrow m=-1$ hoặc $m=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ hoặc $m=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

 

Xét điều kiện $m< 0$ chỉ nhận $m=-1$, $m=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nucnt772: 09-08-2013 - 12:10

cnt




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh