11 replies to this topic

[Dinhxuanbaohung]

 a + b + c + 2 = abc.

Cm a + b + c + 6 $\geq 2\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \right )$ 

[nguyencuong123]

Khi a=b=c= -1 thì  bđt Sai  

[ngt1997]

đây là bài làm của tớ

Edited by ngt1997, 07-08-2013 - 19:02.

[ngt1997]

.

Edited by ngt1997, 07-08-2013 - 19:06.

[ngt1997]

$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$

[nguyencuong123]

$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$$Điều kiện của bài toán tương đương :\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{C+1} =1 Và a,b,c\geq 0. Đặt \frac{1}{a+1}=x;\frac{1}{b+1}=y;\frac{1}{c+1}=z.x,y,z\geq 0.x+y+z=1,bất đẳng thức trở thành \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3 \geq 2(\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}+\sqrt{(\frac{1}{z}-1)(\frac{1}{x}-1)}) Sử dụng bất đẳng thức cô.si ta có:2\sqrt{(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}\leq 2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}.tương tự sau đó bất đẳng thức cần chứng minh đưa về :\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \left (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).đây là đẳng thức vì x+y+z=1 ..dccm$

Ngược dấu rồi bạn ạ .Srr.Mình nhầm.đúng rồi đó nhưng điều kiện phải là a,b,c >0

Edited by nguyencuong123, 07-08-2013 - 20:03.

[ngt1997]

KHÔNG NGƯỢC DẤU ĐÂU

[nguyencuong123]

KHÔNG NGƯỢC DẤU ĐÂU

UKM.Mình Srr rồi mà.

[Dinhxuanbaohung]

KHÔNG NGƯỢC DẤU ĐÂU

bạn có thể ghi lại bài giải một lần nữa được không

sao mình toàn thấy mấy dòng code loằng ngoằng

[nguyencuong123]

Mình làm nốt : $a+b+c+2=abc\Rightarrow\sum \frac{a}{a+1}=1$.đặt $\frac{a}{a+1}=x,\frac{b}{b+1}=y,\frac{c}{c+1}=z$ nên $a=\frac{y+z}{x},b=\frac{x+z}{y},c=\frac{x+y}{z}$ với x+y+z=1.Nên bđt tương đương $\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}+6\geq 2(\sum \sqrt{\frac{y+z}{x}.\frac{x+z}{y}})\Leftrightarrow \sum \frac{x+y+z}{x}+3\geq 2(\sum \sqrt{\frac{(y+z)(z+x)}{xy}})\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x}+3\geq 2(\sum \sqrt{\frac{(y+z)(x+z)}{xy}})\Leftrightarrow \frac{1}{x}+3\geq 2(\sum \sqrt{(\frac{z+y}{y}).(\frac{x+z}{x})})$.Áp dụng AM-GM cho vế phải $2(\sum \sqrt{(\frac{z+y}{y}).(\frac{x+z}{x})})\leq \frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{x}=2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$ tương tự kết hợp vs $\sum \frac{1}{x}\geq \frac{9}{x+y+z}=9$ ta có điều phải chứng minh

[Dinhxuanbaohung]

Mình làm nốt : $a+b+c+2=abc\Rightarrow\sum \frac{a}{a+1}=1$.đặt $\frac{a}{a+1}=x,\frac{b}{b+1}=y,\frac{c}{c+1}=z$ nên $a=\frac{y+z}{x},b=\frac{x+z}{y},c=\frac{x+y}{z}$ với x+y+z=1.Nên bđt tương đương $\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}+6\geq 2(\sum \sqrt{\frac{y+z}{x}.\frac{x+z}{y}})\Leftrightarrow \sum \frac{x+y+z}{x}+3\geq 2(\sum \sqrt{\frac{(y+z)(z+x)}{xy}})\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x}+3\geq 2(\sum \sqrt{\frac{(y+z)(x+z)}{xy}})\Leftrightarrow \frac{1}{x}+3\geq 2(\sum \sqrt{(\frac{z+y}{y}).(\frac{x+z}{x})})$.Áp dụng AM-GM cho vế phải $2(\sum \sqrt{(\frac{z+y}{y}).(\frac{x+z}{x})})\leq \frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{x}=2+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$ tương tự kết hợp vs $\sum \frac{1}{x}\geq \frac{9}{x+y+z}=9$ ta có điều phải chứng minh

bạn đặt nhầm đoạn đầu bài toán $\sum \frac{1}{a+1}=1$. nhưng vẫn cảm ơn bạn

[nguyencuong123]

bạn đặt nhầm đoạn đầu bài toán $\sum \frac{1}{a+1}=1$. nhưng vẫn cảm ơn bạn

Sao nhầm.đúng mà.Quy đồng lên thôi