Đến nội dung

Hình ảnh

Cho hàm số: $y=-x^{4}+2mx^{2}-2m+1 (C_{m})$.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
nucnt772

nucnt772

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 209 Bài viết

Cho hàm số: $y=-x^{4}+2mx^{2}-2m+1 (C_{m})$

a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

b) Định m để $(C_{m})$ cắt Ox tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng. Xác định các số hạng của cấp số cộng này.


cnt

#2
pigloo

pigloo

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết

Cho hàm số: $y=-x^{4}+2mx^{2}-2m+1 (C_{m})$

a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

b) Định m để $(C_{m})$ cắt Ox tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng. Xác định các số hạng của cấp số cộng này.

 

a) Ta có: $y' = -4x^3 + 4mx = -4x(x^2-m) $

 

$y' = 0 \Leftrightarrow  x = 0 \ \mathrm{hay} \ x^2 = m$

  • Khi m > 0, pt y'= 0 có 3 nghiệm phân biệt $\rightarrow $ đồ thị hàm số có 3 cực trị
  • Khi $m \leq 0$, pt y' 0 có 1 nghiệm x = 0 $\rightarrow $ đồ thị có 1 cực trị

b) Phương trình hoành độ giao điểm của $C_m$ và Ox:  $y=-x^{4}+2mx^{2}-2m+1 = 0$ (1)

 

Đặt $t = x^2$, $  t \geq  0$

 

Lúc đó (1) trở thành $-t^2 + 2mt - (2m-1) = 0$ (2)

 

$C_m \cap Ox $ tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt:

$\Delta ' = m^2 - 2m + 1 >0$

$S = 2m > 0 $

$P = 2m -1 > 0$

 
$\Rightarrow$  $m > \dfrac{1}{2}$ và  $m \neq  1$ (*)
 
Gọi 4 nghiệm phân biệt của (1) là $-\sqrt{t_2}; \ -\sqrt{t_1}; \ \sqrt{t_1}; \ \sqrt{t_2}$
 
4 nghiệm trên lập thành 1 CSC : $\sqrt{t_2} - \sqrt{t_1} = \sqrt{t_1} + \sqrt{t_1} \Leftrightarrow  9t_1 - t_2 = 0  (3)$
 
Theo Viet, ta có: $ \begin{cases} & t_1 + t_2 = 2m \ (4) \\  & t_1.t_2 = 2m - 1 \ (5) \end{cases}$ 
 
Từ (3) (4) suy ra: $t_1 = \dfrac{m}{5}; \ t_2 = \dfrac{9m}{5}$
 
Thay vào (5), ta được $9m^2 - 50m + 25 = 0 \Leftrightarrow m = 5 \ hay \ m = \dfrac{5}{9}  $
 
Đối chiếu với điều kiện (*), suy ra  $ m = 5 \ hay \ m = \dfrac{5}{9} $  là giá trị cần tìm.

- bọt biển -

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh