Đến nội dung

Hình ảnh

Mở rộng Problem 4 - IMO 2013

- - - - - imo hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Stranger411

Stranger411

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

1 bài mở rộng của thầy Quang Hùng trong GGTH lần 5

Cho tam giác $ABC$, đường tròn $(I)$ đi qua $B,C$ cắt CA,AB tại $N,M$ khác $B,C$.
Đặt $H = BN \cap CM$. Gọi $d$ là đường thẳng qua $I$ vuông góc với $AH$. Lấy $W$ bất kì trên $d$.
$WK,WL$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $WBM,WCN$.
Chứng minh $K,H,L$ thẳng hàng.
 

TBr.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Stranger411: 10-08-2013 - 09:42

$P_{G}(\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{n})=\frac{1}{|G|}\sum_{\tau\in G}ind(\tau)$


#2
tranquocluat_ht

tranquocluat_ht

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 235 Bài viết

1 bài mở rộng của thầy Quang Hùng trong GGTH lần 5

Cho tam giác $ABC$, đường tròn $(I)$ đi qua $B,C$ cắt CA,AB tại $N,M$ khác $B,C$.
Đặt $H = BN \cap CM$. Gọi $d$ là đường thẳng qua $I$ vuông góc với $AH$. Lấy $W$ bất kì trên $d$.
$WK,WL$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $WBM,WCN$.
Chứng minh $K,H,L$ thẳng hàng.
 

TBr.png

 

Một sự kết hợp đẹp giữa định lý Brocard và hàng điểm điều hòa.

ScreenHunter_01%20Aug.%2011%2013.01.gif

1. Ký hiệu các điểm như hình vẽ, theo Định lý Brocard ta có $MN, BC$ và $d$ đồng quy.

2. Yêu cầu bài toán thực chất là chứng minh $\widehat{HXW}=90^0$ hay $AX.AW=AH.AJ.$

3. Chú ý $(PQBC)=-1$.

4. Ta có $PB.PC=PQ.PX=PJ.PI$ nên tứ giác $BJIC$ nội tiếp, suy ra $\widehat{BJC}=\widehat{BIC}=2 \widehat{BMH}$.

5. Lại có $JQ$ là phân giác của góc $BJC$ nên $\widehat{BJQ}=\widehat{BMH}$ hay tứ giác $BMHJ$ nội tiếp, đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranquocluat_ht: 18-09-2013 - 21:23






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: imo, hình học

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh