Cho $x,y,a,b\in Z; x^{2}+y^{2}=1; a+b=2$. Tìm GTLN: $M=ax+by+ab$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fa4ever: 08-08-2013 - 19:16
$M=ax+by+ab$ với $x^2+y^2=1$, $a+b=2$
Bắt đầu bởi fa4ever, 08-08-2013 - 19:16
#2
Đã gửi 09-08-2013 - 15:29
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cho $x,y,a,b\in Z; x^{2}+y^{2}=1; a+b=2$. Tìm GTLN: $M=ax+by+ab$
Áp dụng C-S ta có
$M\leqslant \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}+ab=\sqrt{a^2+b^2}+ab=\sqrt{4-2ab}+ab$
Đặt $t=ab\leqslant \frac{(a+b)^2}{4}=1\Rightarrow M\leqslant f(t)=\sqrt{4-2t}+t$
$\Rightarrow f'(t)=\frac{-1}{\sqrt{4-2t}}+1=\frac{\sqrt{4-2t}-1}{\sqrt{4-2t}}=0\Leftrightarrow t=\frac{3}{2}$
Lập bảng biến thiên của $f(t)$ với $t \leqslant 1$ ta có $f(t) \leqslant f(1)$
$\Rightarrow M\leqslant f(t)\leqslant f(1)=\sqrt{2}+1$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} \frac{a}{x}=\frac{b}{y}\\a+b=2 \\x^2+y^2=1 \\t=ab=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=1\\x=y=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right.$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
