Chủ đề này có 11 trả lời

[bangbang1412]

Giải phương trình vi phân $(x-y+4)dy+(x+y-2)dx=0$

 

[robin997]

Giải phương trình vi phân $(x-y+4)dy+(x+y-2)dx=0$

$(x-y+4)dy+(x+y-2)dx=0\\\Leftrightarrow (x-y+4)\frac{dy}{dx}+x+y-2=0\\\Leftrightarrow (2x+8)\frac{dy}{dx}+2y-2y \frac{dy}{dx}=4-2 x\\\Leftrightarrow \frac{d((2x+8)y)}{dx}-\frac{d(y^2)}{x}=\frac{d((2x+8)y-y^2)}{dx}=4-2x$
Theo đó: $(2x+8)y-y^2=4x-x^2+k$ Hay $x^2-y^2+2xy+8y-4x-k=0$

:'P

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 10-08-2013 - 14:03

[bangbang1412]

$(x-y+4)dy+(x+y-2)dx=0\\\Leftrightarrow (x-y+4)\frac{dy}{dx}+x+y-2=0\\\Leftrightarrow (2x+8)\frac{dy}{dx}+2y-2y \frac{dy}{dx}=4-2 x\\\Leftrightarrow \frac{d((2x+8)y)}{dx}-\frac{d(y^2)}{x}=\frac{d((2x+8)y-y^2)}{dx}=4-2x$
Theo đó: $(2x+8)y-y^2=4x-x^2+k$ Hay $x^2-y^2+2xy+8y-4x-k=0$

:'P

có nhầm không bạn 

[robin997]

có nhầm không bạn

Thế kết quả của anh là gì vậy, em dở toán lằm :'( ?

Spoiler

Srr mấy mod, em spam, khi nào có kết quả mấy mod xóa bài spam cho em nha...

[zipienie]

Giải phương trình vi phân $(x-y+4)dy+(x+y-2)dx=0$

Có hai cách làm bài này

 

Cách 1: Xét định thức $\begin{vmatrix}1 & 1\\  1&-1 \end{vmatrix}=-2\neq 0$ . Vậy ta sử dụng phép đổi biến $\left\{\begin{matrix}x=u+\alpha & \\  y=v+\beta&\end{matrix}\right.$ ( trong đó $\alpha $ và $\beta$ là các hằng số chọn sau:

 

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}\alpha +\beta -2=0& \\ \alpha-\beta+4=0&\end{matrix}\right.\implies \begin{cases} \alpha=-1\\\beta=3\end{cases}$ 

 

Vậy ta có phương trình vi phân với biến mới là $ (u+v)du+(u-v)dv=0$. Đây là phương trình vi phân thuần nhất bằng cách đặt $u=zv$ sau đó thay trở lại biến ban đầu ta tìm được nghiệm tổng quát $$x^2+2xy-y^2-4x+8y=C$$ 

 

Cách hai: Phương trình có dạng $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$. Xét đạo hàm riêng $\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}=1$. Vậy phương trình đã cho là phương trình vi phân toàn phần.

 

Chọn $(x_{0},y_{0})=(0,0)$ ta được 

 

$$\int_{0}^{x_{0}}x-2 dx+\int_{0}^{y_{0}}x-y+4dy=C$$ 

 

Từ đó ta tìm được nghiệm tổng quát như trên là $$x^2+2xy-y^2-4x+8y=C$$ 

 

(C là một hằng số nào đó )

[lehoatptit]

Có hai cách làm bài này

 

Cách 1: Xét định thức $\begin{vmatrix}1 & 1\\  1&-1 \end{vmatrix}=-2\neq 0$ . Vậy ta sử dụng phép đổi biến $\left\{\begin{matrix}x=u+\alpha & \\  y=v+\beta&\end{matrix}\right.$ ( trong đó $\alpha $ và $\beta$ là các hằng số chọn sau:

 

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}\alpha +\beta -2=0& \\ \alpha-\beta+4=0&\end{matrix}\right.\implies \begin{cases} \alpha=-1\\\beta=3\end{cases}$ 

 

Vậy ta có phương trình vi phân với biến mới là $ (u+v)du+(u-v)dv=0$. Đây là phương trình vi phân thuần nhất bằng cách đặt $u=zv$ sau đó thay trở lại biến ban đầu ta tìm được nghiệm tổng quát $$x^2+2xy-y^2-4x+8y=C$$ 

 

Cách hai: Phương trình có dạng $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$. Xét đạo hàm riêng $\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}=1$. Vậy phương trình đã cho là phương trình vi phân toàn phần.

 

Chọn $(x_{0},y_{0})=(0,0)$ ta được 

 

$$\int_{0}^{x_{0}}x-2 dx+\int_{0}^{y_{0}}x-y+4dy=C$$ 

 

Từ đó ta tìm được nghiệm tổng quát như trên là $$x^2+2xy-y^2-4x+8y=C$$ 

 

(C là một hằng số nào đó )

hay  !chuẩn luôn ! mà  cách 1 bọn mình chưa học !

[nhcan92]

Cách 1 tên gọi là gì vậy bạn? mình muón tìm hiểu

[hoainamcx]

Có hai cách làm bài này

 

Cách 1: Xét định thức $\begin{vmatrix}1 & 1\\  1&-1 \end{vmatrix}=-2\neq 0$ . Vậy ta sử dụng phép đổi biến $\left\{\begin{matrix}x=u+\alpha & \\  y=v+\beta&\end{matrix}\right.$ ( trong đó $\alpha $ và $\beta$ là các hằng số chọn sau:

 

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}\alpha +\beta -2=0& \\ \alpha-\beta+4=0&\end{matrix}\right.\implies \begin{cases} \alpha=-1\\\beta=3\end{cases}$ 

 

Vậy ta có phương trình vi phân với biến mới là $ (u+v)du+(u-v)dv=0$. Đây là phương trình vi phân thuần nhất bằng cách đặt $u=zv$ sau đó thay trở lại biến ban đầu ta tìm được nghiệm tổng quát $$x^2+2xy-y^2-4x+8y=C$$ 

 

Cách hai: Phương trình có dạng $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$. Xét đạo hàm riêng $\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}=1$. Vậy phương trình đã cho là phương trình vi phân toàn phần.

 

Chọn $(x_{0},y_{0})=(0,0)$ ta được 

 

$$\int_{0}^{x_{0}}x-2 dx+\int_{0}^{y_{0}}x-y+4dy=C$$ 

 

Từ đó ta tìm được nghiệm tổng quát như trên là $$x^2+2xy-y^2-4x+8y=C$$ 

 

(C là một hằng số nào đó )

Ở cách 1 bạn nói rõ khúc này được không?
Vậy ta có phương trình vi phân với biến mới là $ (u+v)du+(u-v)dv=0$. Đây là phương trình vi phân thuần nhất bằng cách đặt $u=zv$ sau đó thay trở lại biến ban đầu ta tìm được nghiệm tổng quát $$x^2+2xy-y^2-4x+8y=C$$ 

[PhamTuanHung]

Có hai cách làm bài này

 

Cách 1: Xét định thức $\begin{vmatrix}1 & 1\\  1&-1 \end{vmatrix}=-2\neq 0$ . Vậy ta sử dụng phép đổi biến $\left\{\begin{matrix}x=u+\alpha & \\  y=v+\beta&\end{matrix}\right.$ ( trong đó $\alpha $ và $\beta$ là các hằng số chọn sau:

 

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}\alpha +\beta -2=0& \\ \alpha-\beta+4=0&\end{matrix}\right.\implies \begin{cases} \alpha=-1\\\beta=3\end{cases}$ 

 

Vậy ta có phương trình vi phân với biến mới là $ (u+v)du+(u-v)dv=0$. Đây là phương trình vi phân thuần nhất bằng cách đặt $u=zv$ sau đó thay trở lại biến ban đầu ta tìm được nghiệm tổng quát $$x^2+2xy-y^2-4x+8y=C$$ 

 

Cách hai: Phương trình có dạng $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$. Xét đạo hàm riêng $\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}=1$. Vậy phương trình đã cho là phương trình vi phân toàn phần.

 

Chọn $(x_{0},y_{0})=(0,0)$ ta được 

 

$$\int_{0}^{x_{0}}x-2 dx+\int_{0}^{y_{0}}x-y+4dy=C$$ 

 

Từ đó ta tìm được nghiệm tổng quát như trên là $$x^2+2xy-y^2-4x+8y=C$$ 

 

(C là một hằng số nào đó )

Trên lớp cô em dạy cách hai nhưng không nói rõ cách chọn nghiệm nên lúc em thấy chọn nghiệm là (0; 1) lúc lại là (0; 0). Em không biết nên chọn thế nào cho đúng. Anh có thể hướng dẫn chi tiết ở đây cho e hoặc có tài liệu tham khảo anh gửi vào gmail của em: [email protected] được k ạ!!! 

[zipienie]

Chọn nghiệm ban đầu sao cho các đạo hàm riêng không bị triệt tiêu !

[HauBKHN]

Em không được học cách 1 nhưng nếu gặp trường hợp phương trình không phải phương trình vi phân toàn phần thì cách 1 có gì khác không ạ, anh có thể lấy 1 ví dụ không phải phương trình vi phân toàn phần cho mọi người hiểu thêm đc không ạ!

[kimanh207]

mình cũng đang học vi phân, cho mình hỏi làm sao có thể gửi bài trao đổi trên diễn đàn đc vậy , mình cảm ơn

nhân tiện giải giùm mình bài này (x^3).((dy/dx)-x)=y^2