Chủ đề này có 7 trả lời

[Zaraki]

Bài 5. Cho $n \ge 2$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu chọn ra từ $n+1$ số từ các số $ \{ 1,2, \cdots , 2n-1 \}$ thì có ba số $a,b,c$ phân biệt trong các số được chọn thoả mãn $a+b=c$.

(Gặp gỡ Toán học lần V năm 2013 - Lớp 10)

[dinhthanhhung]

Bài 5. Cho $n \ge 2$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu chọn ra từ $n+1$ số từ các số $ \{ 1,2, \cdots , 2n-1 \}$ thì có ba số $a,b,c$ phân biệt trong các số được chọn thoả mãn $a+b=c$.

(Gặp gỡ Toán học lần V năm 2013 - Lớp 10)

 

Bài này hơi sơ hở chút , em nghĩ chỉ có thể chứng minh tồn tại a,b,c thoả mãn a+b=c hoặc a=2c .

Thật vậy , ta gọi n+1 số chọn ra là $a_{i}(i\in \mathbb{N},1\leq i\leq n+1)$ thì $a_{i }\leq 2n-1$

Giờ ta xét thêm n-1 số khác là : $a_{j}-a_{1}(j\in \mathbb{N},2\leq j\leq n)$ thì $a_{j }\leq 2n-1$

Rõ rãng 2n số trên chỉ nhận 2n-1 giá trị nên tồn tại 2 số có giá trị bằng nhau .

Vậy có 2 trường hợp là : $a_{j}=a_{1}+a_{i}$ hoặc $a_{j}=2a_{1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhthanhhung: 09-08-2013 - 15:38

[bangbang1412]

Không mất tổng quát ; ta giải cho trường hợp n = 49 ; khi đó tập ban đầu là ${1;2;.......;97}$

Ta gọi 50 số này là ${a_{1};...........a_{50}}$

Thỏa mãn $1\leq a_{1}<a_{2}<..................<a_{50}\leq97$

Và $max a_{1}=48$

Nên ta xét 3 dãy sau 2 $\leq2a_{1}<a_{2}+a_{1}<...............<a_{1}+a_{50}\leq145$ có 50 số 

$1\leq a_{2}-a_{1}<a_{3}-a_{1}<....................a_{50}-a_{1}\leq96$ số 49 số 

Và $1\leq a_{3}-a_{2}<a_{4}-a_{2}<..............<a_{50}-a_{2}\leq95$ có 48 số

Nên tổng cộng có $50+49+48=147$ số ở khoảng [1;145]

Do đó tồn tại 2 số bằng nhau ; chẳng hạn $a_{50}-a_{1}=a_{47}+a_{1}$ hay $2.a_{1}+a_{47}=a_{50}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 09-08-2013 - 15:42

[LNH]

Không mất tổng quát ; ta giải cho trường hợp n = 49 ; khi đó tập ban đầu là ${1;2;.......;97}$

Ta gọi 50 số này là ${a_{1};...........a_{50}}$

Thỏa mãn $1\leq a_{1}<a_{2}<..................<a_{50}\leq97$

Và $max a_{1}=48$

Nên ta xét 3 dãy sau 2 $\leq2a_{1}<a_{2}+a_{1}<...............<a_{1}+a_{50}\leq145$ có 50 số 

$1\leq a_{2}-a_{1}<a_{3}-a_{1}<....................a_{50}-a_{1}\leq96$ số 49 số 

Và $1\leq a_{3}-a_{2}<a_{4}-a_{2}<..............<a_{50}-a_{2}\leq95$ có 48 số

Nên tổng cộng có $50+49+48=147$ số ở khoảng [1;145]

Do đó tồn tại 2 số bằng nhau ; chẳng hạn $a_{50}-a_{1}=a_{47}+a_{1}$ hay $2.a_{1}+a_{47}=a_{50}$

Bài này CM với mọi $n$ mà em

[bangbang1412]

Bài này CM với mọi $n$ mà em

vì em sợ khó nhìn ; lại không có nháp nên chọn luôn cho tiện ; vì dù sao bài này giải TH đơn lẻ đủ lớn là đc ; tổng quát cmtt

[LNH]

Không mất tổng quát ; ta giải cho trường hợp n = 49 ; khi đó tập ban đầu là ${1;2;.......;97}$

Ta gọi 50 số này là ${a_{1};...........a_{50}}$

Thỏa mãn $1\leq a_{1}<a_{2}<..................<a_{50}\leq97$

Và $max a_{1}=48$

Nên ta xét 3 dãy sau 2 $\leq2a_{1}<a_{2}+a_{1}<...............<a_{1}+a_{50}\leq145$ có 50 số 

$1\leq a_{2}-a_{1}<a_{3}-a_{1}<....................a_{50}-a_{1}\leq96$ số 49 số 

Và $1\leq a_{3}-a_{2}<a_{4}-a_{2}<..............<a_{50}-a_{2}\leq95$ có 48 số

Nên tổng cộng có $50+49+48=147$ số ở khoảng [1;145]

Do đó tồn tại 2 số bằng nhau ; chẳng hạn $a_{50}-a_{1}=a_{47}+a_{1}$ hay $2.a_{1}+a_{47}=a_{50}$

Anh nghĩ bài này em chỉ chỉ ra được tồn tại 4 số $a,b,c,d$ sao cho $a+b=c+d$

Bài này có thể tiếp cận bằng quy nạp:

Xét $n=2$: dễ dàng chứng minh bằng cách liệt kê tất cả các tập con có 3 phần tử trong tập trên

Giả sử đúng với $n=k$

Xét $n=k+1$:

Nếu trong cách chon chỉ có 1 trong 2 số $2k$ hoặc $2k+1$ thì theo GT quy nạp suy ra đpcm

Xét các cách chọn có cả $2k$ và $2k+1$

Gs tồn tại cách chọn không thoả mãn yêu cầu đề bài

Xét các cặp số sau:

$\left ( 1,2k \right ),\left ( 2,2k-1 \right ),...,\left ( k,k+1 \right )$

Có tất cả $k$ cặp số

Nhận xét:

Có nhiều nhất một số trong một cặp được chọn

$2k$ đã được chọn, suy ra $1$ không được chọn

Vậy mỗi cặp số trên phải có duy nhất một số được chọn, nếu không thì xảy ra điều mâu thuẫn(nguyên tắc Dirichlet)

Ta xét tiếp các cặp số:

$\left ( 1,2k-1 \right ),\left ( 2,2k-2 \right ),...,\left ( k-1,k+1 \right ),k$

Nhận xét:

Có nhiều nhất một số trong một cặp được chọn

Có ít nhất một trong 2 số $2k-1$ hoặc $k$ được chọn

Nếu ta chọn số $2k-1$ mà không chọn $k$ thì $2k-2$ được chọn(vì 2 không được chọn)

Lí luận tương tự suy ra $2k+1,2k,2k-1,2k-2,...,k+1$ được chọn

Vậy còn 1 số nữa cần chọn(vì phải chọn $k+1$ số)

Lí luận tương tự với trường hợp chỉ chọn $k$

Xét trường hợp chọn cả $2k-1$ và $k$

Suy ra $k+1$ không được chọn

Xét $k-1$: nếu $k-1$ không được chọn thì làm tương tự như trên, nếu $k-1$ được chọn thì suy ra $k+2$ không được chọn rồi thực hiện tương tự như xét $k+1$

Suy ra giả thiết phản chứng sai

Suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 15-08-2013 - 10:42

[bangbang1412]

Anh nghĩ bài này em chỉ chỉ ra được tồn tại 4 số $a,b,c,d$ sao cho $a+b=c+d$

Bài này có thể tiếp cận bằng quy nạp:

Xét $n=2$: dễ dàng chứng minh bằng cách liệt kê tất cả các tập con có 3 phần tử trong tập trên

Giả sử đúng với $n=k$

Xét $n=k+1$:

Nếu trong cách chon chỉ có 1 trong 2 số $2k$ hoặc $2k+1$ thì theo GT quy nạp suy ra đpcm

Xét các cách chọn có cả $2k$ và $2k+1$

Gs tồn tại cách chọn không thoả mãn yêu cầu đề bài

Xét các cặp số sau:

$\left ( 1,2k \right ),\left ( 2,2k-1 \right ),...,\left ( k,k+1 \right )$

Có tất cả $k$ cặp số

Nhận xét:

Có nhiều nhất một số trong một cặp được chọn

$2k$ đã được chọn, suy ra $1$ không được chọn

Vậy mỗi cặp số trên phải có duy nhất một số được chọn, nếu không thì xảy ra điều mâu thuẫn(nguyên tắc Dirichlet)

Ta xét tiếp các cặp số:

$\left ( 1,2k-1 \right ),\left ( 2,2k-2 \right ),...,\left ( k-1,k+1 \right ),k$

Nhận xét:

Có nhiều nhất một số trong một cặp được chọn

Có ít nhất một trong 2 số $2k-1$ hoặc $k$ được chọn

Nếu ta chọn số $2k-1$ mà không chọn $k$ thì $2k-2$ được chọn(vì 2 không được chọn)

Lí luận tương tự suy ra $2k+1,2k,2k-1,2k-2,...,k+1$ được chọn

Vậy còn 1 số nữa cần chọn(vì phải chọn $k+1$ số)

Lí luận tương tự với trường hợp chỉ chọn $k$

Xét trường hợp chọn cả $2k-1$ và $k$

Suy ra $k+1$ không được chọn

Xét $k-1$: nếu $k-1$ không được chọn thì làm tương tự như trên, nếu $k-1$ được chọn thì suy ra $k+2$ không được chọn rồi thực hiện tương tự như xét $k+1$

Suy ra giả thiết phản chứng sai

Suy ra đpcm

? ; em chưa hiểu ý ; đúng là 4 số ; nhưng chọn 1 số lớn hơn vế kia trừ đi thì vẫn thu được.

 

@mod: Đề nghị đưa ra câu hỏi cụ thể. Nhớ viết hoa đầu dòng để nhìn thiện cảm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 15-08-2013 - 18:28

[BlackSelena]

Bài này hơi sơ hở chút , em nghĩ chỉ có thể chứng minh tồn tại a,b,c thoả mãn a+b=c hoặc a=2c .

Thật vậy , ta gọi n+1 số chọn ra là $a_{i}(i\in \mathbb{N},1\leq i\leq n+1)$ thì $a_{i }\leq 2n-1$

Giờ ta xét thêm n-1 số khác là : $a_{j}-a_{1}(j\in \mathbb{N},2\leq j\leq n)$ thì $a_{j }\leq 2n-1$

Rõ rãng 2n số trên chỉ nhận 2n-1 giá trị nên tồn tại 2 số có giá trị bằng nhau .

Vậy có 2 trường hợp là : $a_{j}=a_{1}+a_{i}$ hoặc $a_{j}=2a_{1}$

Trường hợp $a_j = 2a_1$ có lẽ ko xảy ra vì ta chọn $n+1$ phân biệt. Trình bày kĩ hơn thế này là sẽ rõ ràng:
Gọi $n+1$ số bốc ra lần lượt là $a_1 < a_2 < .. < a_{n+1}$
Xét : $\left\{\begin{matrix} a_{n+1} - a_1 = b_1 \\ a_{n+1} - a_2 = b_2 \\ ... \\ a_{n+1} - a_n = b_n \end{matrix}\right.$
Dễ thấy theo Dirichlet thì $a_1, a_2,. .. , a_n ; b_1, b_2, ... b_n$  có 2 số bằng nhau và ko nằm trong cùng 1 dãy.
Vậy $a_{n+1} = a_i + a_j$  (đpcm!) . Làm thế này là khỏi lo bị sót
p/s: bài này có 1 mở rộng là ta luôn tìm đc $a_m + a_n$ trong $n+1$ số trên có tổng là $2n-1$, mọi người thử suy nghĩ coi nà0