Chủ đề này có 2 trả lời

[Zaraki]

Bài 1. Cho $a,b,c$ là các số thực dương đồng thời thoả mãn điều kiện $a+b+c=3$ và $a^2+b^2+c^2=4$. Chứng minh rằng $$4- \sqrt{15} \le \frac ab \le 4+ \sqrt{15}$$

(Gặp gỡ Toán học lần V năm 2013 - Lớp 11)

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Ta có:

$(3c - 4)^2 \geq 0$

 

$\Leftrightarrow 9c^2 - 24c + 16 \geq 0$

$\Leftrightarrow 4(c^2 - 6c + 9) \geq 20 - 5c^2 \Leftrightarrow 4(3 - c)^2 \geq 5(4 - c^2)$

 

$\Leftrightarrow 4(a + b)^2 \geq 5(a^2 + b^2) \Leftrightarrow a^2 - 8ab + b^2 \leq 0$ 

 

$\Leftrightarrow \left (\dfrac{a}{b} \right )^2 - 8\dfrac{a}{b} + 1 \leq 0 \Leftrightarrow 4 - \sqrt{15} \leq \dfrac{a}{b} \leq 4 + \sqrt{15}$
 

[Lyer]

Ta có:Theo BCS: $(a^2 + b^2 + c^2)( \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}+1)\geq (a+b+c)^2$

Suy ra $\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}+1\geq \frac{9}{4}$

Sau đó khai triển $\frac{2ab}{a^2+b^2}\geq\frac{1}{4}$

Suy ra $\frac{2t}{t^2+1}\geq\frac{5}{4}$ với $t=\frac{a}{b}$

<=> $-t^2+8t-1\geq0$ Suy ra dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lyer: 10-08-2013 - 19:39