Chủ đề này có 2 trả lời

[Zaraki]

Bài 2. Tồn tại hay không hàm số $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ thoả mãn điều kiện $$f \left( f(x) + \frac{1}{f(x)} \right) =x+1$$

(Gặp gỡ Toán học lần V năm 2013 - Lớp 11)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 09-08-2013 - 13:43

[Idie9xx]

Bài 2. Tồn tại hay không hàm số $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ thoả mãn điều kiện $$f \left( f(x) + \frac{1}{f(x)} \right) =x+1$$

(Gặp gỡ Toán học lần V năm 2013 - Lớp 11)

Cho $P(x)$ có tính chất $f \left( f(x) + \frac{1}{f(x)} \right) =x+1$

Ta thấy $f$ song ánh.

$P\left ( f(x)+\dfrac{1}{f(x)} \right )\Rightarrow f\left ( x+1+\dfrac{1}{x+1} \right )=f(x)+\dfrac{1}{f(x)}+1>3$

Mà $x+1+\dfrac{1}{x+1}>2$ Nên $\forall x>2\Rightarrow f(x)>3,(*)$

Với các $t$ thỏa $f(t)>1$ ta có:

$P(f(t)-1)\Rightarrow f\left ( f(f(t)-1)+\dfrac{1}{f(f(t)-1)} \right )=f(t)$

$\Rightarrow t=f(f(t)-1)+\dfrac{1}{f(f(t)-1)}$

$\Rightarrow f(f(t)-1)=\dfrac{t\pm \sqrt{t^2-4}}{2}$

Vậy với $x<2\Rightarrow f(x)<1,(**)$

Do $f$ song ánh nên theo $(*),(**)$ ta thấy không thể tồn tại $f$ thỏa đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 10-08-2013 - 20:50

[Lyer]

Cách 2

Ta dễ dàng chứng minh f đơn ánh.và $f(x)>1$.Thật vậy giả sử tồn tại u sao cho $f(u)< 1$.Khi đó ta có với $f(t)=\frac{1}{f(u)}> 1$.Nên ta dể dàng thấy $f(t)+\frac{1}{f(t)}=f(u)+\frac{1}{f(u)}$Suy ra u=t (Mâu thuẫn). Vậy f(x) lớn hơn 1 với mọi x lớn hơn 0

Ta chia tập xác định của nó làm hai tập đó là từ 0 đến 2 và từ 2 đến vô cùng.Lúc đó tồn tại a,b sao cho $f(a)=b$ với b thuộc tập từ 1 đến vô cùng ( do $f(x)>1$ với mọi $x>0$) và a thuộc từ 2 đến vô cùng.Mặt khác với b thuộc khoảng trên thì tồn tại a' thuộc khoảng (0;2) sao cho $f(a')=b$ Vô lí vì do f đơn ánh nên suy ra a=a' mà cả hai số đều thuộc hai khoảng khác nhau..!!! Nếu nhầm chỗ nào thì cho xin lỗi nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lyer: 10-08-2013 - 20:09