Chủ đề này có 1 trả lời

[Zaraki]

Bài 1. Cho dãy số $(a_n)$ được xác định $a_1= \sqrt 5, a_2 = 3- \sqrt 5, a_3=2$ và $$a_{n+3}= \frac 14 \left( 5a_{n+2}-a_n \right), \; \; n \ge 1.$$

(a) Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn.

(b) Tìm giới hạn đó.

(Gặp gỡ Toán học lần V năm 2013 - Lớp 12)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 09-08-2013 - 22:41

[thukilop]

$a_{n+3}=\frac{1}{4}(5a_{n+2}-a_{n})$ <=> $a_{n+3}-a_{n+2}=\frac{1}{4}(a_{n+2}-a_{n})$

 

Cho n chạy từ $n+3$ --> 5 rồi cộng tất cả các đẳng thức lại thu được:

 

$a_{n+3}-a_{3}=\frac{1}{4}(a_{n+2}+a_{n+1}-a_{2}-a_{1})$ <=> $a_{n+3}=\frac{1}{4}(a_{n+2}+a_{n+1})+\frac{5}{4}$ (*)

 

Xây dựng dãy $u_{n}$ thỏa: $u_{n}=a_{n}-\frac{5}{2}$, thay vào (*) ta được: $u_{n+2}=\frac{1}{4}(u_{n+1}+u_{n})$

Tìm CTTQ, rồi cho n ra vô cùng => $limu_{n}=0$ => $lima_{n}$=$\frac{5}{2}$