Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$u_{n}=\frac{u_{n-1}\times u_{n-2}+ k }{u_{n-3}}$

dãy số chia hết olympic toán thi học sinh giỏi

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 xxSneezixx

xxSneezixx

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Gia Định _ TP. HCM

Đã gửi 09-08-2013 - 17:16

Cho dãy số $u_{n}$ biết $u_{1}=u_{2}= 1, u_{3}=2, u_{n}=\frac{u_{n-1}\times u_{n-2}+ k }{u_{n-3}}$ 

Định k để mọi số hạng của dãy số $u_{n}$ đều là số nguyên. 

 

 

 

 

 


$$\mathfrak{Curiosity}$$

 


#2 mathforlife

mathforlife

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Đã gửi 13-08-2013 - 17:10

Từ gt $u_4=2+k$ mà $u_4 \in Z$ nên $k \in Z$

từ công thức truy hồi $u_{n}u_{n-3} - u_{n-1}u_{n-2}=k=u_{n-1}u_{n-4} - u_{n-2}u_{n-3}$

hay $ \frac {u_{n} + u_{n-2}}{u_{n-1}}=\frac{u_{n-2}+u_{n-4}}{u_{n-3}}$

suy ra $\frac{u_{2k}+u_{2k-2}}{u_{2k-1}}=\frac{u_4+u_2}{u_3}=\frac{3+k}{2}$

$\frac{u_{2k+1}+u_{2k-1}}{u_{2k}}=\frac{u_3+u_1}{u_2}=3$

suy ra $u_{2k}=\frac{3+k}{2}u_{2k-1}-u_{2k-2}$ (1)

$u_{2k+1}=3u_{2k}-u_{2k-1}$ (2)

Nếu k lẻ thì hiển nhiên $u_n \in Z \forall n$

giả sử tồn tại k chẵn thoả mãn. từ (1) suy ra $u_n \equiv 0 (mod2) \forall n\equiv 1(mod2)$

kết hợp (2) suy ra $u_n \equiv 0 (mod2) \forall n\equiv 0(mod2)$

lại kết hợp (1) suy ra $u_n \equiv 0 (mod4) \forall n\equiv 1(mod2)$

kết hợp (2) suy ra $u_n \equiv 0 (mod4) \forall n\equiv 0(mod2)$

Tiếp tục lập luận như vậy ta sẽ suy ra được điều vô lý.

Vậy đáp số bài toán là $k \in Z, k \equiv 1(mod2)$

 

P/s: không biết đúng khôgn nữa :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathforlife: 13-08-2013 - 17:13






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dãy số, chia hết, olympic, toán thi học sinh giỏi

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh