Cho dãy số $u_{n}$ biết $u_{1}=u_{2}= 1, u_{3}=2, u_{n}=\frac{u_{n-1}\times u_{n-2}+ k }{u_{n-3}}$
Định k để mọi số hạng của dãy số $u_{n}$ đều là số nguyên.
Cho dãy số $u_{n}$ biết $u_{1}=u_{2}= 1, u_{3}=2, u_{n}=\frac{u_{n-1}\times u_{n-2}+ k }{u_{n-3}}$
Định k để mọi số hạng của dãy số $u_{n}$ đều là số nguyên.
$$\mathfrak{Curiosity}$$
Từ gt $u_4=2+k$ mà $u_4 \in Z$ nên $k \in Z$
từ công thức truy hồi $u_{n}u_{n-3} - u_{n-1}u_{n-2}=k=u_{n-1}u_{n-4} - u_{n-2}u_{n-3}$
hay $ \frac {u_{n} + u_{n-2}}{u_{n-1}}=\frac{u_{n-2}+u_{n-4}}{u_{n-3}}$
suy ra $\frac{u_{2k}+u_{2k-2}}{u_{2k-1}}=\frac{u_4+u_2}{u_3}=\frac{3+k}{2}$
$\frac{u_{2k+1}+u_{2k-1}}{u_{2k}}=\frac{u_3+u_1}{u_2}=3$
suy ra $u_{2k}=\frac{3+k}{2}u_{2k-1}-u_{2k-2}$ (1)
$u_{2k+1}=3u_{2k}-u_{2k-1}$ (2)
Nếu k lẻ thì hiển nhiên $u_n \in Z \forall n$
giả sử tồn tại k chẵn thoả mãn. từ (1) suy ra $u_n \equiv 0 (mod2) \forall n\equiv 1(mod2)$
kết hợp (2) suy ra $u_n \equiv 0 (mod2) \forall n\equiv 0(mod2)$
lại kết hợp (1) suy ra $u_n \equiv 0 (mod4) \forall n\equiv 1(mod2)$
kết hợp (2) suy ra $u_n \equiv 0 (mod4) \forall n\equiv 0(mod2)$
Tiếp tục lập luận như vậy ta sẽ suy ra được điều vô lý.
Vậy đáp số bài toán là $k \in Z, k \equiv 1(mod2)$
P/s: không biết đúng khôgn nữa
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathforlife: 13-08-2013 - 17:13
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh tích $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 chia hết |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$(3^{n}-1)\vdots 2^{2023}$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 06-02-2024 chia hết |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Viết các số tự nhiên liên tiếp:1, 2, 3,...,1999 theo thứ tự tùy ý thành một dãy số dài. Hỏi số đó chia hết cho 2005 không?Bắt đầu bởi David Ting, 29-12-2023 chia hết |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
Cho $f(x)=x+e^{x}$ và $g(x)=\frac{x+1}{2x-1}$. Tìm $f^{-1}(g^{-1}(g^{-1}(f(0))))$Bắt đầu bởi Explorer, 31-10-2023 dãy số, đại số, hàm ngược, hàm số |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Tìm lim của dãy: $u_n = \frac{-1}{3+u_{n-1}}, u_0=1$Bắt đầu bởi Lyua My, 19-10-2023 lim, giới hạn, dãy số |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh