Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh: $\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 mathandyou

mathandyou

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-08-2013 - 21:51

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:

$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathandyou: 09-08-2013 - 22:26

:( ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ..  :unsure:

:)ĐỪNG NẢN LÒNG HÃY CỐ GẮNG VƯỢT QUA. :lol:
@};- -Khải Hoàn-

#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 09-08-2013 - 22:35

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:

$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$

Lời giải. Ta có $\frac{1}{2-a} \ge \frac{a^2+1}{2} \Leftrightarrow a(a-1)^2 \ge 0$, đúng.

Tượng tự và cộng lại ta có đpcm.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#3 tuannguyenhue1

tuannguyenhue1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hoa quả sơn

Đã gửi 09-08-2013 - 22:35

ta có  $\frac{1}{2-a}\geq \frac{a^{2}+1}{2}$ đoạn này mình không biết chứng minh nên tự túc nhé



#4 khong la gi ca

khong la gi ca

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh

Đã gửi 09-08-2013 - 22:48

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:

$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$

 

BĐT đã cho tương đương với

$$ \frac{2}{2-a} + \frac{2}{2-b} + \frac{2}{2-c} \geq 6 $$

$$ \Leftrightarrow 1 + \frac{a}{2-a} + 1 + \frac{b}{2-b} + 1 + \frac{c}{2-c} \geq 6 $$

hay

$$ \frac{a}{2-a}  + \frac{b}{2-b} +  \frac{c}{2-c} \geq 3 $$

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz
$$ \frac{a}{2-a}  + \frac{b}{2-b} +  \frac{c}{2-c} =  \frac{a^2}{2a-a^2}  + \frac{b^2}{2b-b^2} +  \frac{c^2}{2c-c^2} \geq \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{2a-a^2+2b-b^2+2c-c^2} = \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{2\left ( a+b+c \right )-3} $$
Đặt $t=a+b+c$. Theo giả thiết kết hợp với BĐT Cauchy - Schwarz thì

$$ 3 = a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{3} \Rightarrow \left ( a+b+c \right )^2 = t^2 \leq 9 $$
Do đk $a,b,c>0$ nên ta được $0<t \leq 3$
Xét hàm số
$f(t) = \frac{t^2}{2t-3}$ với $t \in (0,3])$
có $f'(t) = \frac{2t^2-6t}{(2t-3)^2} \leq 0 \forall t \in (0,3]$
suy ra $f$ là hàm nghịch biến trên $(0,3]$

vậy $f(t) \geq f(3) = 3$.
Từ đây ta có đpcm

Lưu ý là ta ko đc quyền đánh giá
$$  \frac{t^2}{2t-3} \geq 3 $$
$$ \Leftrightarrow t^2 - 6t + 9 \geq 0 $$

$$ \Leftrightarrow (t-3)^2 \geq 0 $$

vì ta ko chắc $2t-3 \geq 0$ (ta chỉ có đc $0<t\leq3$)   :)

 

 


"The Universe appears to be flawed.

If things exist because they ought to,

why are they not much better than they are?"


#5 khanh2711999

khanh2711999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 11-08-2013 - 10:20

áp dụng BĐT Cô-sy

a2 + 1 $\geq$ 2a

$\Leftrightarrow$ 1 $\geqslant$ a2 (2 - a ) 

$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2-a}$ $\geqslant$ a2              (1)

tương tự áp dụng bất đẳng thức Cô-sy với 2 số

$\Rightarrow$ $\frac{1}{2-b}$ $\geqslant$ b2                    (2)

                   và $\frac{1}{2-c}$ $\geqslant$ c2                    (3)

(1)(2)(3) $\Rightarrow$ $\frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b}+ \frac{1}{2-c}$ $\geqslant$ a+ b2 + c2

               $\Rightarrow$ $\frac{1}{2-a}+ \frac{1}{2-b}+ \frac{1}{2-c}$$\geqslant$ 1

            $\Rightarrow$ ta có đpcm

dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=c=1



#6 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 13-08-2013 - 18:02

a2 + 1 $\geq$ 2a

$\Leftrightarrow$ 1 $\geqslant$ a2 (2 - a ) 

Đoạn này cần xem lại nhé 


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#7 megamanvui

megamanvui

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 13-08-2013 - 20:58

AM-GM 4 số

$\sqrt[4]{1-x^{2}} \leq \frac{1-x+1+x+1+1}{4} = 1$

$\sqrt[4]{1+x} \leq \frac{1+x+1+1+1}{4} = 1+1/x$

$\sqrt[4]{1-x} \leq \frac{1-x+1+1+1}{4} = 1-1/x$

$VT <= 3$

$=> s={0}$



#8 THYH

THYH

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 119 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1-THPT Quốc Học Quy Nhơn
  • Sở thích:Ăn - ngủ

Đã gửi 13-08-2013 - 22:45

áp dụng BĐT Cô-sy

a2 + 1 $\geq$ 2a

$\Leftrightarrow$ 1 $\geqslant$ a2 (2 - a ) 

$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2-a}$ $\geqslant$ a2              (1)

tương tự áp dụng bất đẳng thức Cô-sy với 2 số

$\Rightarrow$ $\frac{1}{2-b}$ $\geqslant$ b2                    (2)

                   và $\frac{1}{2-c}$ $\geqslant$ c2                    (3)

(1)(2)(3) $\Rightarrow$ $\frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b}+ \frac{1}{2-c}$ $\geqslant$ a+ b2 + c2

               $\Rightarrow$ $\frac{1}{2-a}+ \frac{1}{2-b}+ \frac{1}{2-c}$$\geqslant$ 1

            $\Rightarrow$ ta có đpcm

dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=c=1

chỗ bôi đỏ xót từ đó: $a^2+1\geq 2a\Leftrightarrow \frac{a}{2-a}\geq a^{2}$

tương tự có:$\frac{b}{2-b}\geq b^{2}$, $\frac{c}{2-c}\geq c^{2}$

ta có đề $\Leftrightarrow \frac{2}{2-a}+\frac{2}{2-b}+\frac{2}{2-c}\geq 6$

 

$\Leftrightarrow \frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-c}\geq 3$

+ 3 cái trên lại dễ dang c.m đc.....


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi THYH: 13-08-2013 - 22:45

''math + science = success''


TVT


#9 germany3979

germany3979

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết

Đã gửi 20-08-2013 - 11:05

Bạn ơi 2-a chắc là dương chưa???



#10 mathandyou

mathandyou

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-08-2013 - 11:26

Bạn ơi 2-a chắc là dương chưa???

$\sqrt{3} > a$


:( ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ..  :unsure:

:)ĐỪNG NẢN LÒNG HÃY CỐ GẮNG VƯỢT QUA. :lol:
@};- -Khải Hoàn-

#11 germany3979

germany3979

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết

Đã gửi 24-08-2013 - 12:07

Tại sao $a< \sqrt{3}$ vậy bạn ơi???



#12 khanv

khanv

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 11-06-2016 - 00:55

Bài 3: Cho a,b,c>0 t/m: a+b+c=3. Tìm Min P=2(a+b+c)+(1a+1b+1c)P=2(a+b+c)+(1a+1b+1c). mọi người cho hỏi bài này với






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh