Chủ đề này có 3 trả lời

[minhhieu070298vn]

Cho a,b,c>1,a+b+c+2=abc

CMR bc$\sqrt{a^{2}-1}$ +ca$\sqrt{b^{2}-1}$ +ab$\sqrt{c^{2}-1}$ $\leq$ $\frac{3\sqrt{3}}{2}abc$

[25 minutes]

Cho a,b,c>1,a+b+c+2=abc

CMR bc$\sqrt{a^{2}-1}$ +ca$\sqrt{b^{2}-1}$ +ab$\sqrt{c^{2}-1}$ $\leq$ $\frac{3\sqrt{3}}{2}abc$

Do $a,b,c>1$ và $a+b+c+2=abc$ nên tồn tại $3$ góc trong tam giác sao cho

                $(\cos^2A,\cos^2B,\cos^2C)=(\frac{1}{bc},\frac{1}{ca},\frac{1}{ab})$

BĐT đã cho tương đương với

                $\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{b^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{c^2}}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Áp dụng AM-GM ta có $\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{b^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{c^2}}\leqslant 3\sqrt{\frac{3-(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})}{3}}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geqslant \frac{3}{4}$

                   $\Rightarrow \frac{\cos^2A\cos^2B}{\cos^2C}+ \frac{\cos^2A\cos^2C}{\cos^2B}+ \frac{\cos^2B\cos^2C}{\cos^2A}\geqslant \frac{3}{4}$ (1)

Ta có đẳng thức sau : $\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1$

                             Và $2\cos A\cos B\cos C\leqslant \frac{1}{4}$

      $\Rightarrow \cos^2A+\cos^2B+\cos^2C\geqslant \frac{3}{4}$  (2)

Từ (1) và (2) ta chỉ cần chứng minh 

       $\frac{\cos^2A\cos^2B}{\cos^2C}+ \frac{\cos^2A\cos^2C}{\cos^2B}+ \frac{\cos^2B\cos^2C}{\cos^2A}\geqslant \cos^2A+\cos^2B+\cos^2C$

Nhưng rõ ràng bất đẳng thức trên luôn đúng theo AM-GM

                $\sum \frac{\cos^2A\cos^2B}{\cos^2C}+\sum \frac{\cos^2A\cos^2C}{\cos^2B}\geqslant \sum 2\cos^2A$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $A=B=C$ hay $x=y=z=2$

[minhhieu070298vn]

Do $a,b,c>1$ và $a+b+c+2=abc$ nên tồn tại $3$ góc trong tam giác sao cho

                $(\cos^2A,\cos^2B,\cos^2C)=(\frac{1}{bc},\frac{1}{ca},\frac{1}{ab})$

BĐT đã cho tương đương với

                $\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{b^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{c^2}}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Áp dụng AM-GM ta có $\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{b^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{c^2}}\leqslant 3\sqrt{\frac{3-(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})}{3}}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geqslant \frac{3}{4}$

                   $\Rightarrow \frac{\cos^2A\cos^2B}{\cos^2C}+ \frac{\cos^2A\cos^2C}{\cos^2B}+ \frac{\cos^2B\cos^2C}{\cos^2A}\geqslant \frac{3}{4}$ (1)

Ta có đẳng thức sau : $\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1$

                             Và $2\cos A\cos B\cos C\leqslant \frac{1}{4}$

      $\Rightarrow \cos^2A+\cos^2B+\cos^2C\geqslant \frac{3}{4}$  (2)

Từ (1) và (2) ta chỉ cần chứng minh 

       $\frac{\cos^2A\cos^2B}{\cos^2C}+ \frac{\cos^2A\cos^2C}{\cos^2B}+ \frac{\cos^2B\cos^2C}{\cos^2A}\geqslant \cos^2A+\cos^2B+\cos^2C$

Nhưng rõ ràng bất đẳng thức trên luôn đúng theo AM-GM

                $\sum \frac{\cos^2A\cos^2B}{\cos^2C}+\sum \frac{\cos^2A\cos^2C}{\cos^2B}\geqslant \sum 2\cos^2A$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $A=B=C$ hay $x=y=z=2$

Còn cách khác không dùng lượng không ạ??????

[minhhieu070298vn]

Cho a,b,c>1,a+b+c+2=abc

CMR bc$\sqrt{a^{2}-1}$ +ca$\sqrt{b^{2}-1}$ +ab$\sqrt{c^{2}-1}$ $\leq$ $\frac{3\sqrt{3}}{2}abc$

Tự giải luôn mới nghĩ ra:

Từ giả thiết dùng AM-GM suy ra $abc\geq 8$

Chia 2 vế bđt cho abc ta đươc: $\sum \frac{\sqrt{a^2-1}}{a}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$(*)

Theo Bunhia thì: $\left ( \sum \frac{\sqrt{a^2-1}}{a} \right )^2\leq 3\left ( \sum \frac{a^2-1}{a^2} \right )=3\left ( 3-\sum \frac{1}{a^2} \right )$(1)

Từ giả thiết chia 2 vế cho abc có: $\sum \frac{1}{ab}+\frac{2}{abc}=1$. Mà $abc\geq 8$ nên

$\sum \frac{1}{ab}\geq \frac{3}{4}\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2}\geq \frac{3}{4}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra (*) đúng. Chứng minh hoàn tất