Cho tam giác $ABC$. Chứng minh luôn tồn tại một tam giác đều có các trung tuyến đi qua các đỉnh tam giác $ABC$.
Chứng minh luôn tồn tại một tam giác đều có trung tuyến đi qua các đỉnh tam giác $ABC$.
Bắt đầu bởi Zaraki, 10-08-2013 - 16:45
Chủ đề này có 2 trả lời
#1
Zaraki
-
- Phó Quản trị
-
- 4266 Bài viết
PQT
- Giới tính:Nam
- Đến từ:Đảo mộng mơ.
- Sở thích:Mathematics, Manga
Đã gửi 10-08-2013 - 16:45
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.
#2
chanhquocnghiem
-
- Thành viên
-
- 2158 Bài viết
Thiếu tá
- Giới tính:Nam
- Đến từ:Vũng Tàu
- Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử
Đã gửi 29-07-2017 - 11:22
Cho tam giác $ABC$. Chứng minh luôn tồn tại một tam giác đều có các trung tuyến đi qua các đỉnh tam giác $ABC$.
1) Phân tích :
Giả sử đã dựng được tam giác đều $MNP$ có trọng tâm $O$ và có các trung tuyến $MM',NN',PP'$ lần lượt đi qua $A,B,C$. Có thể xảy ra 2 trường hợp sau :
a) Ba góc $\measuredangle AOB,\measuredangle BOC,\measuredangle COA$ bằng nhau và bằng $120^o$
b) Điểm $O$ nhìn cạnh dài nhất dưới góc $120^o$, nhìn 2 cạnh kia dưới góc $60^o$
Ví dụ nếu cạnh $AB$ dài nhất thì $\measuredangle AOB=120^o,\measuredangle BOC=\measuredangle COA=60^o$
Từ đó suy ra cách dựng sau.
2) Cách dựng : (Ta giả sử $AB$ là cạnh dài nhất)
- Bước 1 : Dựng cung chứa góc $120^o$ trên đoạn $AB$ (có 2 cung như vậy, ta chỉ cần dựng cung cùng phía với $C$ đối với đường thẳng $AB$)
- Bước 2 : Xác định trọng tâm $O$ của tam giác $MNP$. Có $3$ trường hợp :
a) Nếu $C$ nằm trên cung $AB$ đã dựng thì $O$ trùng với $C$.
b) Nếu $C$ nằm ngoài phần mặt phẳng giới hạn bởi cạnh $AB$ và cung $AB$ thì dựng cung chứa góc $120^o$ trên đoạn $BC$ (có 2 cung như vậy, ta chỉ cần dựng cung nào cùng phía với $A$ đối với đường thẳng $BC$).Giao điểm khác $B$ của cung này với cung $AB$ chính là điểm $O$
c) Nếu $C$ nằm trong phần mặt phẳng giới hạn bởi cạnh $AB$ và cung $AB$ thì dựng cung chứa góc $60^o$ trên đoạn $BC$ (có 2 cung như vậy, ta chỉ cần dựng cung nào khác phía với $A$ đối với đường thẳng $BC$).Giao điểm khác $B$ của cung này với cung $AB$ chính là điểm $O$
- Bước 3 : Trên các đường thẳng $OA,OB,OC$ lần lượt chọn các tia $Ot,Ou,Ov$ sao cho $\measuredangle tOu=\measuredangle uOv=\measuredangle vOt=120^o$
- Bước 4 : Trên các tia $Ot,Ou,Ov$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$ sao cho $OM=ON=OP=d$ ($d$ là số thực dương tùy ý). Tam giác $MNP$ là tam giác đều có các trung tuyến đi qua $A,B,C$
3) Chứng minh :
Theo cách dựng, dễ dàng chứng minh tam giác $MNP$ là tam giác đều có các trung tuyến đi qua $A,B,C$.
4) Biện luận :
Vì số $d$ có thể chọn tùy ý nên có vô số tam giác đều (có cùng trọng tâm $O$) thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 29-07-2017 - 17:54
- caybutbixanh và Mr handsome ugly thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
NeverDiex
-
- Thành viên
-
- 61 Bài viết
Hạ sĩ
Đã gửi 26-07-2019 - 10:16
1) Phân tích :
Giả sử đã dựng được tam giác đều
M
N
P
có trọng tâm
O
và có các trung tuyến
M
M
′
,
N
N
′
,
P
P
′
lần lượt đi qua
A
,
B
,
C
. Có thể xảy ra 2 trường hợp sau :
a) Ba góc
∡
A
O
B
,
∡
B
O
C
,
∡
C
O
A
bằng nhau và bằng
120
o
b) Điểm
O
nhìn cạnh dài nhất dưới góc
120
o
, nhìn 2 cạnh kia dưới góc
60
o
Ví dụ nếu cạnh
A
B
dài nhất thì
∡
A
O
B
=
120
o
,
∡
B
O
C
=
∡
C
O
A
=
60
o
Từ đó suy ra cách dựng sau.
2) Cách dựng : (Ta giả sử
A
B
là cạnh dài nhất)
- Bước 1 : Dựng cung chứa góc
120
o
trên đoạn
A
B
(có 2 cung như vậy, ta chỉ cần dựng cung cùng phía với
C
đối với đường thẳng
A
B
)
- Bước 2 : Xác định trọng tâm
O
của tam giác
M
N
P
. Có
3
trường hợp :
a) Nếu
C
nằm trên cung
A
B
đã dựng thì
O
trùng với
C
.
b) Nếu
C
nằm ngoài phần mặt phẳng giới hạn bởi cạnh
A
B
và cung
A
B
thì dựng cung chứa góc
120
o
trên đoạn
B
C
(có 2 cung như vậy, ta chỉ cần dựng cung nào cùng phía với
A
đối với đường thẳng
B
C
).Giao điểm khác
B
của cung này với cung
A
B
chính là điểm
O
c) Nếu
C
nằm trong phần mặt phẳng giới hạn bởi cạnh
A
B
và cung
A
B
thì dựng cung chứa góc
60
o
trên đoạn
B
C
(có 2 cung như vậy, ta chỉ cần dựng cung nào khác phía với
A
đối với đường thẳng
B
C
).Giao điểm khác
B
của cung này với cung
A
B
chính là điểm
O
- Bước 3 : Trên các đường thẳng
O
A
,
O
B
,
O
C
lần lượt chọn các tia
O
t
,
O
u
,
O
v
sao cho
∡
t
O
u
=
∡
u
O
v
=
∡
v
O
t
=
120
o
- Bước 4 : Trên các tia
O
t
,
O
u
,
O
v
lần lượt lấy các điểm
M
,
N
,
P
sao cho
O
M
=
O
N
=
O
P
=
d
(
d
là số thực dương tùy ý). Tam giác
M
N
P
là tam giác đều có các trung tuyến đi qua
A
,
B
,
C
3) Chứng minh :
Theo cách dựng, dễ dàng chứng minh tam giác
M
N
P
là tam giác đều có các trung tuyến đi qua
A
,
B
,
C
.
4) Biện luận :
Vì số
d
có thể chọn tùy ý nên có vô số tam giác đều (có cùng trọng tâm
O
) thỏa mãn điều kiện đề bài.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
