Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh luôn tồn tại một tam giác đều có trung tuyến đi qua các đỉnh tam giác $ABC$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh luôn tồn tại một tam giác đều có các trung tuyến đi qua các đỉnh tam giác $ABC$.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh luôn tồn tại một tam giác đều có các trung tuyến đi qua các đỉnh tam giác $ABC$.

1) Phân tích :

    Giả sử đã dựng được tam giác đều $MNP$ có trọng tâm $O$ và có các trung tuyến $MM',NN',PP'$ lần lượt đi qua $A,B,C$. Có thể xảy ra 2 trường hợp sau :

    a) Ba góc $\measuredangle AOB,\measuredangle BOC,\measuredangle COA$ bằng nhau và bằng $120^o$

    b) Điểm $O$ nhìn cạnh dài nhất dưới góc $120^o$, nhìn 2 cạnh kia dưới góc $60^o$

        Ví dụ nếu cạnh $AB$ dài nhất thì $\measuredangle AOB=120^o,\measuredangle BOC=\measuredangle COA=60^o$

    Từ đó suy ra cách dựng sau.

2) Cách dựng : (Ta giả sử $AB$ là cạnh dài nhất)

    - Bước 1 : Dựng cung chứa góc $120^o$ trên đoạn $AB$ (có 2 cung như vậy, ta chỉ cần dựng cung cùng phía với $C$ đối với đường thẳng $AB$)

    - Bước 2 : Xác định trọng tâm $O$ của tam giác $MNP$. Có $3$ trường hợp :

      a) Nếu $C$ nằm trên cung $AB$ đã dựng thì $O$ trùng với $C$.

      b) Nếu $C$ nằm ngoài phần mặt phẳng giới hạn bởi cạnh $AB$ và cung $AB$ thì dựng cung chứa góc $120^o$ trên đoạn $BC$ (có 2 cung như vậy, ta chỉ cần dựng cung nào cùng phía với $A$ đối với đường thẳng $BC$).Giao điểm khác $B$ của cung này với cung $AB$ chính là điểm $O$

      c) Nếu $C$ nằm trong phần mặt phẳng giới hạn bởi cạnh $AB$ và cung $AB$ thì dựng cung chứa góc $60^o$ trên đoạn $BC$ (có 2 cung như vậy, ta chỉ cần dựng cung nào khác phía với $A$ đối với đường thẳng $BC$).Giao điểm khác $B$ của cung này với cung $AB$ chính là điểm $O$

    - Bước 3 : Trên các đường thẳng $OA,OB,OC$ lần lượt chọn các tia $Ot,Ou,Ov$ sao cho $\measuredangle tOu=\measuredangle uOv=\measuredangle vOt=120^o$

    - Bước 4 : Trên các tia $Ot,Ou,Ov$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$ sao cho $OM=ON=OP=d$ ($d$ là số thực dương tùy ý). Tam giác $MNP$ là tam giác đều có các trung tuyến đi qua $A,B,C$

3) Chứng minh :

    Theo cách dựng, dễ dàng chứng minh tam giác $MNP$ là tam giác đều có các trung tuyến đi qua $A,B,C$.

4) Biện luận :

    Vì số $d$ có thể chọn tùy ý nên có vô số tam giác đều (có cùng trọng tâm $O$) thỏa mãn điều kiện đề bài.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 29-07-2017 - 17:54

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3
NeverDiex

NeverDiex

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
1) Phân tích :
 
    Giả sử đã dựng được tam giác đều 
M
N
P
 có trọng tâm 
O
 và có các trung tuyến 
M
M
,
N
N
,
P
P
 lần lượt đi qua 
A
,
B
,
C
. Có thể xảy ra 2 trường hợp sau :
 
    a) Ba góc 
A
O
B
,
B
O
C
,
C
O
A
 bằng nhau và bằng 
120
o
    b) Điểm 
O
 nhìn cạnh dài nhất dưới góc 
120
o
, nhìn 2 cạnh kia dưới góc 
60
o
        Ví dụ nếu cạnh 
A
B
 dài nhất thì 
A
O
B
=
120
o
,
B
O
C
=
C
O
A
=
60
o
    Từ đó suy ra cách dựng sau.
 
2) Cách dựng : (Ta giả sử 
A
B
 là cạnh dài nhất)
 
    - Bước 1 : Dựng cung chứa góc 
120
o
 trên đoạn 
A
B
 (có 2 cung như vậy, ta chỉ cần dựng cung cùng phía với 
C
 đối với đường thẳng 
A
B
)
 
    - Bước 2 : Xác định trọng tâm 
O
 của tam giác 
M
N
P
. Có 
3
 trường hợp :
 
      a) Nếu 
C
 nằm trên cung 
A
B
 đã dựng thì 
O
 trùng với 
C
.
 
      b) Nếu 
C
 nằm ngoài phần mặt phẳng giới hạn bởi cạnh 
A
B
 và cung 
A
B
 thì dựng cung chứa góc 
120
o
 trên đoạn 
B
C
 (có 2 cung như vậy, ta chỉ cần dựng cung nào cùng phía với 
A
 đối với đường thẳng 
B
C
).Giao điểm khác 
B
 của cung này với cung 
A
B
 chính là điểm 
O
      c) Nếu 
C
 nằm trong phần mặt phẳng giới hạn bởi cạnh 
A
B
 và cung 
A
B
 thì dựng cung chứa góc 
60
o
 trên đoạn 
B
C
 (có 2 cung như vậy, ta chỉ cần dựng cung nào khác phía với 
A
 đối với đường thẳng 
B
C
).Giao điểm khác 
B
 của cung này với cung 
A
B
 chính là điểm 
O
    - Bước 3 : Trên các đường thẳng 
O
A
,
O
B
,
O
C
 lần lượt chọn các tia 
O
t
,
O
u
,
O
v
 sao cho 
t
O
u
=
u
O
v
=
v
O
t
=
120
o
    - Bước 4 : Trên các tia 
O
t
,
O
u
,
O
v
 lần lượt lấy các điểm 
M
,
N
,
P
 sao cho 
O
M
=
O
N
=
O
P
=
d
 (
d
 là số thực dương tùy ý). Tam giác 
M
N
P
 là tam giác đều có các trung tuyến đi qua 
A
,
B
,
C
3) Chứng minh :
 
    Theo cách dựng, dễ dàng chứng minh tam giác 
M
N
P
 là tam giác đều có các trung tuyến đi qua 
A
,
B
,
C
.
 
4) Biện luận :
 
    Vì số 
d
 có thể chọn tùy ý nên có vô số tam giác đều (có cùng trọng tâm 
O
) thỏa mãn điều kiện đề bài.

 

 




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh