Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\frac{1}{a^2+1}+ \frac{1}{b^2+1}+ \frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1} \ge 2$

- - - - - gặp gỡ toán học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Bài 2. Cho các số thực dương $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $$ab+ac+ad+bc+bd+cd=6.$$ Chứng minh rằng $$\frac{1}{a^2+1}+ \frac{1}{b^2+1}+ \frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1} \ge 2$$

(Gặp gỡ Toán học lần V năm 2013 - Lớp 12)


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Bài 2. Cho các số thực dương $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $$ab+ac+ad+bc+bd+cd=6.$$ Chứng minh rằng $$\frac{1}{a^2+1}+ \frac{1}{b^2+1}+ \frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1} \ge 2$$

(Gặp gỡ Toán học lần V năm 2013 - Lớp 12)

Đây là một lời giải của rsa365 trên mathlinks :icon6:  (đây là bài BĐT trong kì thi Brazil Olympic Revenge 2013)

$ \sum\frac{1}{a^2+1}=\sum\frac{(bc+bd+cd)^2}{(a^2+1)(bc+bd+cd)^2}\ge\frac{(2\sum ab)^2}{\sum (a^2+1)(bc+bd+cd)^2} $

Bây giờ ta sẽ CM:

$ 2(\sum ab)^2\ge\sum (a^2+1)(bc+bd+cd)^2 $

$ 2\sum a^2bc+12abcd\ge 3\sum a^2b^2c^2+4\sum a^2b^2cd $

Đồnh nhất với:

$ (\sum ab)(\sum a^2bc+6abcd)\ge 9\sum a^2b^2c^2+12\sum a^2b^2cd\Leftrightarrow $

$ \sum a^3b^2c+3\sum a^3bcd\ge 6\sum a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2cd $(đúng với AM-GM)

Suy ra đpcm



#3
holmes2013

holmes2013

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 189 Bài viết

Bài 2. Cho các số thực dương $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $$ab+ac+ad+bc+bd+cd=6.$$ Chứng minh rằng $$\frac{1}{a^2+1}+ \frac{1}{b^2+1}+ \frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1} \ge 2$$

(Gặp gỡ Toán học lần V năm 2013 - Lớp 12)

Mình nghĩ bài này chỉ cần sử dụng đánh giá sau: $\frac{1}{1+x^{2}}\geq 1-\frac{x}{2}$ với $x> 0$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: gặp gỡ toán học

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh