Chủ đề này có 1 trả lời

[Zaraki]

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Điểm $D$ là trung điểm cạnh $BC$êieemr $E$ nằm ngoài tam giác sao cho $CE \perp AB$ và $BE=BD$. Gọi $M$ là trung điểm đoạn thẳng $BE$. Điểm $F$ nằm trên cung nhỏ $AD$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ sao cho $MF \perp BE$. Chứng minh $ED \perp FD$.

(Gặp gỡ Toán học lần V năm 2013 - Lớp 12)

[malx]

Gọi chân đường cao $CE$ trong tam giác $\Delta ABC$ trên cạnh $AB$ là $K$, $EB$ cắt đường tròn $(ABD)$ tại $N$, $MF$ cắt đường tròn này tại một điểm thứ hai là $L$. Vì $BD. BC = BK. BA = BE. BN$ nên $E$ là trung điểm của $BN$.

Quan sát $\Delta NLF$, đường cao $NM$ cắt đường tròn ngoại tiếp tại $B$ với $BM = ME$ nên thực chất $E$ là trực tâm của tam giác này.

$\angle LNE = \angle NDB, NE = BD, LE = LB$ nên dung định lí sin sẽ thu được $\angle NLE = \angle BLD$ dẫn đến $\angle ELB = \angle NLD = \angle NBD$, hai tam giác cân $ELB$ và $EBD$ có hai góc ở đỉnh bằng nhau nên các góc ở đáy bằng nhau dẫn đến $LB\parallel ED$, do đó $\angle LBD = \angle EDC$. Lại có $\angle BLD = \angle BAD = \angle ECD$ nên $\Delta BLD \sim \Delta DCE$, vì thế $\angle MDE = \angle DEC = \angle LDB = \angle LFB$, tứ giác $EMDF$ là tứ giác nội tiếp nên có ngay đpcm.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi malx: 18-08-2013 - 19:45