Chủ đề này có 1 trả lời

[Zaraki]

Bài 4. Gỉa sử $m,n$ là hai hợp số thỏa mãn $\gcd (m,n)>1$. Từ tọa độ nguyên $X=(0,0)$ có một con cào cào. Tại mỗi thời điểm thì con cào cào có thể nhảy một bước đến điểm nguyên phía trên hoặc bên phải so với vị trí của nó hiện tại. Biết rằng sau $m+n$ bước nhảy thì con cào cào điểm điểm $Y=(m,n)$. Chứng minh rằng hoặc có thời điểm con cào cào ở vị trí $Z \ne X,Y$ nằm trên đoạn thẳng nối hai điểm $X,Y$ hoặc tồn tại hai thời điểm mà con cào cào ở các vị trí $U,V$ sao cho hai đường thẳng $UV$ và $XY$ song song với nhau.

(Gặp gỡ Toán học lần V năm 2013 - Lớp 12)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 10-08-2013 - 17:52

[LNH]

Bài 4. Gỉa sử $m,n$ là hai hợp số thỏa mãn $\gcd (m,n)>1$. Từ tọa độ nguyên $X=(0,0)$ có một con cào cào. Tại mỗi thời điểm thì con cào cào có thể nhảy một bước đến điểm nguyên phía trên hoặc bên phải so với vị trí của nó hiện tại. Biết rằng sau $m+n$ bước nhảy thì con cào cào điểm điểm $Y=(m,n)$. Chứng minh rằng hoặc có thời điểm con cào cào ở vị trí $Z \ne X,Y$ nằm trên đoạn thẳng nối hai điểm $X,Y$ hoặc tồn tại hai thời điểm mà con cào cào ở các vị trí $U,V$ sao cho hai đường thẳng $UV$ và $XY$ song song với nhau.

(Gặp gỡ Toán học lần V năm 2013 - Lớp 12)

Đây là lời giải của anh Traum bên MS(mới cầu cứu xong)

Vì $\left ( m,n \right )>1$ và $m,n$ không phải số nguyên tố nên tồn tại $a,b,d>1$ sao cho $m=ad$, $n=bd$. Với mỗi $1\leq k\leq m+n-\left ( a+b \right )+1=\left ( d-1 \right )\left ( a+b \right )+1$ đặt $n_k$ là số bước nhảy lên trong số các bước nhảy thứ $k,k+1,...,k+a+b-1$. Ta có tổng các bước nảy lên của con cào cào là $n=bd$ nên $n_{1}+n_{a+b+1}+...+n_{\left ( d-1 \right )\left ( a+b \right )+1}=bd$. Như vậy tồn tại $i \neq j$ sao cho $n_{i}\leq b$ và $n_{j}\geq b$. Lại có $\left | n_{j+1}-n_{j} \right |\leq 1$ nên trong dãy $n_i, n_{i+1},...,n_j$ phải tồn tại $n_k=b$. Với $k=1$ thì tại thời điểm $a+b+1$ thì con cào cào sẽ nằm trên $XY$. Với $k>1$ thì tồn tại 2 thời điểm $k$ và $k+a+b-1$ để $UV$ song song với $XY$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 13-08-2013 - 15:41