Chưa có bài trả lời

[Zaraki]

Mọi người có thể tìm kiếm thêm thông tin về chương trình Gặp gỡ Toán học tại đây.

Đề nghị KHÔNG THẢO LUẬN TẠI TOPIC NÀY, hãy nhấn vào số thứ tự bài toán để thảo luận.

 

Lớp 10.

$\boxed{1}$. (a) Rút gọn biểu thức $$A= \frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+ \frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+ \frac{c^2}{(c-a)(c-b)}$$

(b) Cho đa thức $f(x)= x^9+3x^8+4x^7+2x^6+4x^5+2x^4+4x^3+2x^2+3x+1$. Hãy tính $f \left( \sqrt[3]{2}-1 \right)$.

 

$\boxed{2}$. Giải phương trình $\frac{16x}{ \sqrt{x+1}}+ 8 \sqrt 3 x=9x+21$.

 

$\boxed{3}$. Paula và hai thợ phụ của cô mỗi người sơn với một năng suất không đổi, nhưng khác nhau. Họ luôn bắt đầu vào lúc $8$ giờ sáng và cả ba sử dụng một lượng thời gian như nhau để ăn trưa. Ngày thứ hai, đầu tuần, cả ba người cùng làm việc và hoàn thành $50 \percent$ ngôi nhà, kết thúc công việc lúc $4$ giờ chiều. Ngày thứ $3$, khi Paula vắng mặt, hai thợ phụ chỉ sơn được $24 \percent$ căn nhà và kết thúc công việc lúc $2:22$ giờ chiều. Ngày thứ tư, Paula làm việc một mình cho đến $7:12$ tối và hoàn thành công việc sơn ngôi nhà.Hỏi mỗi ngày họ nghỉ ăn trưa bao nhiều phút ?

 

$\boxed{4}$. Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$. Một đường thẳng qua $A$ cắt hai đường tròn lần lượt tại $C$ và $D$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm cung $BD,BC$ của hai đường tròn và trung điểm cạnh $CD$. Chứng minh $\angle MNP= 90^{\circ}$.

 

$\boxed{5}$. Cho $n \ge 2$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu chọn ra từ $n+1$ số từ các số $ \{ 1,2, \cdots , 2n-1 \}$ thì có ba số $a,b,c$ phân biệt trong các số được chọn thoả mãn $a+b=c$.

 

Lớp 11.

$\boxed{1}$. Cho $a,b,c$ là các số thực dương đồng thời thoả mãn điều kiện $a+b+c=3$ và $a^2+b^2+c^2=4$. Chứng minh rằng $$4- \sqrt{15} \le \frac ab \le 4+ \sqrt{15}$$

 

$\boxed{2}$. Tồn tại hay không hàm số $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ thoả mãn điều kiện $$f \left( f(x) + \frac{1}{f(x)} \right) =x+1$$

 

$\boxed{3}$. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $AB$ giao $CD$ tại $E$, $AD$ giao $BC$ tại $F$. $M,N$ là trung điểm của $AC,BD$. $d$ là trung trực của $MN$. $P,Q$ thuộc $d$ sao cho $PE \perp FM$ và $FQ \perp EM$. $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $NEF$. Chứng minh tam giác $KPQ$ cân.

 

$\boxed{4}$. Cho tập hợp $A= \{ 1,2, \cdots , n \}$ với $n$ là số nguyên dương. Hỏi có bao nhiêu bộ ba các tập hợp $(X,Y,Z)$ có tính thứ tự thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

(i) $X,Y,Z \subset A$.

(ii) $X \subset ((Y \cap Z) \cup (A \setminus Y)), \; Y \subset ((Z \cap X) \cup (A \setminus  Z))$ và $Z \subset ((X \cap Y) \cup (A \setminus X))$.

 

Lớp 12.

$\boxed{1}$. Cho dãy số $(a_n)$ được xác định $a_1= \sqrt 5, a_2 = 3- \sqrt 5, a_3=2$ và $$a_{n+3}= \frac 14 \left( 5a_{n+2}-a_n \right), \; \; n \ge 1.$$

(a) Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn.

(b) Tìm giới hạn đó.

 

$\boxed{2}$. Cho các số thực dương $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $$ab+ac+ad+bc+bd+cd=6.$$ Chứng minh rằng $$\frac{1}{a^2+1}+ \frac{1}{b^2+1}+ \frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1} \ge 2$$

 

$\boxed{3}$. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Điểm $D$ là trung điểm cạnh $BC$êieemr $E$ nằm ngoài tam giác sao cho $CE \perp AB$ và $BE=BD$. Gọi $M$ là trung điểm đoạn thẳng $BE$. Điểm $F$ nằm trên cung nhỏ $AD$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ sao cho $MF \perp BE$. Chứng minh $ED \perp FD$.

 

$\boxed{4}$. Gỉa sử $m,n$ là hai hợp số thỏa mãn $\gcd (m,n)>1$. Từ tọa độ nguyên $X=(0,0)$ có một con cào cào. Tại mỗi thời điểm thì con cào cào có thể nhảy một bước đến điểm nguyên phía trên hoặc bên phải so với vị trí của nó hiện tại. Biết rằng sau $m+n$ bước nhảy thì con cào cào điểm điểm $Y=(m,n)$. Chứng minh rằng hoặc có thời điểm con cào cào ở vị trí $Z \ne X,Y$ nằm trên đoạn thẳng nối hai điểm $X,Y$ hoặc tồn tại hai thời điểm mà con cào cào ở các vị trí $U,V$ sao cho hai đường thẳng $UV$ và $XY$ song song với nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 10-08-2013 - 18:11