Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 Pie66336

Pie66336

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Quốc Oai Hà Nội
  • Sở thích:Ăn Kem , bim bim, ăn kẹo,uống sữa
    Ngủ
    Chơi
    Xem ti vi

Đã gửi 11-08-2013 - 10:25

Chứng minh: 

 

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ với x,y,z>0

 



#2 letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\sqrt{MF}$
  • Sở thích:$Maths$

Đã gửi 11-08-2013 - 10:37

Chứng minh: 

 

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ với x,y,z>0

Đặt :

$A=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y};B=\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{x}{x+y};C=\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}+\frac{y}{x+y}$

Ta có :

$B+C=3$

Áp dụng BĐT Cauchy:

$A+B=\frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{z+x}+\frac{z+x}{x+y}\geq 3; A+C=\frac{x+z}{y+z}+\frac{y+x}{z+x}+\frac{z+y}{x+y}\geq 3$

$\Rightarrow 2A+B+C\geq 6\Rightarrow 2A\geq 3\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$ $(đpcm)$


        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#3 hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:darkness
  • Sở thích:???

Đã gửi 11-08-2013 - 10:44

ta có $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{ x+ z}+\frac{z}{x+y}= \frac{ x^{2}}{xy+xz}+\frac{y^{2}}{xy+yz}+\frac{z^{2}}{xz+yz}\geqslant \frac{(x+y+z)^{2}}{2(xy+yz+xz)}$

mà $xy+yz+xz\leqslant \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$

vậy được đpcm



#4 pham thuan thanh

pham thuan thanh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 110 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trực và THPT chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Khi tin là có thể là bạn đã đạt được một nửa thành công!

Đã gửi 11-08-2013 - 10:46

bđt nesbit


Khi tin là có thể là bạn đã đạt được một nửa thành công!

 


#5 hieuvipntp

hieuvipntp

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:internet,toán

Đã gửi 11-08-2013 - 10:59

hê nesbit

bài này nhẹ nhứt nên chém tạm vậy

dĩ nhiên$\large (x+y+x+z+y+z)(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z})\geq 9 \Leftrightarrow (x+y+z)(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z})\geq 4.5\Leftrightarrow \frac{x}{y+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{y}{x+z}+3\geq 4.5\Leftrightarrow Q.E.D$



#6 andymurray44

andymurray44

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Hà Nội Amsterdam

Đã gửi 11-08-2013 - 11:12

C1:

Đặt y+z=a,x+z=b,x+y=c suy ra $x=\frac{b+c-a}{2},y=\frac{a+c-b}{2},z=\frac{a+b-c}{2}\Rightarrow \sum \frac{x}{y+z}=\frac{1}{2}\sum \frac{b}{a}+\frac{c}{a}-1\geq \frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$

 

C2:

$\sum \frac{x}{y+z}=\sum \frac{x+y+z}{y+z}-3=(x+y+z)(\sum \frac{1}{y+z})-3\geq (x+y+z)(\frac{9}{2(x+y+z)})-3= \frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$



#7 Vo Sy Nguyen

Vo Sy Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Du

Đã gửi 11-08-2013 - 11:22

Chứng minh: 

 

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ với x,y,z>0

 

Cách 1

 

Đặt y+z=a; z+x=b; x+y=c ($a,b,c\geq 0$) thì

$\Rightarrow x+y+z=\frac{a+b+c}{2}$

$\Rightarrow x=\frac{b+c-a}{2};y=\frac{c+a-b}{2};z= \frac{a+b-c}{2}$

Do đó,

$VT=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=\frac{b+c-a}{2a}+ \frac{c+a-b}{2b}+\frac{a+b-c}{2c} =\frac{1}{2}\left (\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \right )+\frac{1}{2}\left (\frac{c}{a}+\frac{a}{c} \right )+\frac{1}{2}\left (\frac{b}{c}+\frac{c}{b} \right ) - \frac{3}{2}\geq 1+1+1-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Cách 2

 

VÌ vai trò của a,b,c là như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử:

$x\geq y\geq z$$\Rightarrow x+y\geq x+z\geq y+z\Rightarrow \frac{1}{y+z}\geq \frac{1}{z+x}\geq \frac{1}{x+y}$

$\Rightarrow \sum \frac{x}{y+z}\geq \sum \frac{y}{y+z}$

 Và $\sum \frac{x}{y+z}\geq \sum \frac{z}{y+z}$

Cộng vế theo vế , ta có

$2\left ( \sum \frac{x}{y+z} \right )\geq \sum \frac{y+z}{y+z}=3\Rightarrow \sum \frac{x}{y+z}\geq \frac{3}{2}$ (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vo Sy Ngueyn: 11-08-2013 - 14:18


#8 Supermath98

Supermath98

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 512 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán;Thơ;đá bóng;...

Đã gửi 11-08-2013 - 17:46

Chứng minh: 

 

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ với x,y,z>0

Và đây là một cách 

File gửi kèm


:icon12: :icon12: :icon12: Đừng bao giờ ngồi một chỗ và ước. Hãy đứng dậy và làm:icon12: :icon12: :icon12:

#9 laiducthang98

laiducthang98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 11-08-2013 - 17:54

Áp dụng BĐT  $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 9$ ta có $(a+b+b+c+c+a)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9$ 

<=> $(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{9}{2}$

Sau đó nhân tung hết ra ta đc đfcm 



#10 Pie66336

Pie66336

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Quốc Oai Hà Nội
  • Sở thích:Ăn Kem , bim bim, ăn kẹo,uống sữa
    Ngủ
    Chơi
    Xem ti vi

Đã gửi 21-08-2013 - 16:45

ta có $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{ x+ z}+\frac{z}{x+y}= \frac{ x^{2}}{xy+xz}+\frac{y^{2}}{xy+yz}+\frac{z^{2}}{xz+yz}\geqslant \frac{(x+y+z)^{2}}{2(xy+yz+xz)}$

mà $xy+yz+xz\leqslant \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$

vậy được đpcm

chỗ màu xanh đấy, tại sao thế?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pie66336: 21-08-2013 - 16:47


#11 hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:darkness
  • Sở thích:???

Đã gửi 21-08-2013 - 19:28

chỗ màu xanh đấy, tại sao thế?

 chỗ đó áp dụng bđt schwars

 Và  đây là bđt đó 

với  b1,b2,...bn $> 0$ ta có 

 

$\frac{a1^{2}}{b1}+\frac{a2^{2}}{b2}+.....\frac{an^{2}}{bn}\geqslant \frac{(a1+a2+.....+an)^{2}}{b1+b2+....+bn}$

 

dấu bằng xảy ra khi $\frac{a1^{2}}{b1^{2}}=\frac{a2^{2}}{b2^{2}}=.....=\frac{an^{2}}{bn}$

p/s: 1,2,....n là số thứ tự không phải nhân đâu nhé !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 21-08-2013 - 19:30


#12 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 21-08-2013 - 19:47

cộng 1 vào mỗi số rôi dung bunhia


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh