Chứng minh:
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ với x,y,z>0
Chứng minh:
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ với x,y,z>0
Chứng minh:
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ với x,y,z>0
Đặt :
$A=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y};B=\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{x}{x+y};C=\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}+\frac{y}{x+y}$
Ta có :
$B+C=3$
Áp dụng BĐT Cauchy:
$A+B=\frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{z+x}+\frac{z+x}{x+y}\geq 3; A+C=\frac{x+z}{y+z}+\frac{y+x}{z+x}+\frac{z+y}{x+y}\geq 3$
$\Rightarrow 2A+B+C\geq 6\Rightarrow 2A\geq 3\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$ $(đpcm)$
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
ta có $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{ x+ z}+\frac{z}{x+y}= \frac{ x^{2}}{xy+xz}+\frac{y^{2}}{xy+yz}+\frac{z^{2}}{xz+yz}\geqslant \frac{(x+y+z)^{2}}{2(xy+yz+xz)}$
mà $xy+yz+xz\leqslant \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$
vậy được đpcm
hê nesbit
bài này nhẹ nhứt nên chém tạm vậy
dĩ nhiên$\large (x+y+x+z+y+z)(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z})\geq 9 \Leftrightarrow (x+y+z)(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z})\geq 4.5\Leftrightarrow \frac{x}{y+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{y}{x+z}+3\geq 4.5\Leftrightarrow Q.E.D$
C1:
Đặt y+z=a,x+z=b,x+y=c suy ra $x=\frac{b+c-a}{2},y=\frac{a+c-b}{2},z=\frac{a+b-c}{2}\Rightarrow \sum \frac{x}{y+z}=\frac{1}{2}\sum \frac{b}{a}+\frac{c}{a}-1\geq \frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$
C2:
$\sum \frac{x}{y+z}=\sum \frac{x+y+z}{y+z}-3=(x+y+z)(\sum \frac{1}{y+z})-3\geq (x+y+z)(\frac{9}{2(x+y+z)})-3= \frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$
Chứng minh:
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ với x,y,z>0
Cách 1
Đặt y+z=a; z+x=b; x+y=c ($a,b,c\geq 0$) thì
$\Rightarrow x+y+z=\frac{a+b+c}{2}$
$\Rightarrow x=\frac{b+c-a}{2};y=\frac{c+a-b}{2};z= \frac{a+b-c}{2}$
Do đó,
$VT=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=\frac{b+c-a}{2a}+ \frac{c+a-b}{2b}+\frac{a+b-c}{2c} =\frac{1}{2}\left (\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \right )+\frac{1}{2}\left (\frac{c}{a}+\frac{a}{c} \right )+\frac{1}{2}\left (\frac{b}{c}+\frac{c}{b} \right ) - \frac{3}{2}\geq 1+1+1-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$
Cách 2
VÌ vai trò của a,b,c là như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử:
$x\geq y\geq z$$\Rightarrow x+y\geq x+z\geq y+z\Rightarrow \frac{1}{y+z}\geq \frac{1}{z+x}\geq \frac{1}{x+y}$
$\Rightarrow \sum \frac{x}{y+z}\geq \sum \frac{y}{y+z}$
Và $\sum \frac{x}{y+z}\geq \sum \frac{z}{y+z}$
Cộng vế theo vế , ta có
$2\left ( \sum \frac{x}{y+z} \right )\geq \sum \frac{y+z}{y+z}=3\Rightarrow \sum \frac{x}{y+z}\geq \frac{3}{2}$ (đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vo Sy Ngueyn: 11-08-2013 - 14:18
Chứng minh:
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ với x,y,z>0
Và đây là một cách
Áp dụng BĐT $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 9$ ta có $(a+b+b+c+c+a)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9$
<=> $(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{9}{2}$
Sau đó nhân tung hết ra ta đc đfcm
ta có $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{ x+ z}+\frac{z}{x+y}= \frac{ x^{2}}{xy+xz}+\frac{y^{2}}{xy+yz}+\frac{z^{2}}{xz+yz}\geqslant \frac{(x+y+z)^{2}}{2(xy+yz+xz)}$
mà $xy+yz+xz\leqslant \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$
vậy được đpcm
chỗ màu xanh đấy, tại sao thế?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pie66336: 21-08-2013 - 16:47
chỗ màu xanh đấy, tại sao thế?
chỗ đó áp dụng bđt schwars
Và đây là bđt đó
với b1,b2,...bn $> 0$ ta có
$\frac{a1^{2}}{b1}+\frac{a2^{2}}{b2}+.....\frac{an^{2}}{bn}\geqslant \frac{(a1+a2+.....+an)^{2}}{b1+b2+....+bn}$
dấu bằng xảy ra khi $\frac{a1^{2}}{b1^{2}}=\frac{a2^{2}}{b2^{2}}=.....=\frac{an^{2}}{bn}$
p/s: 1,2,....n là số thứ tự không phải nhân đâu nhé !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 21-08-2013 - 19:30
cộng 1 vào mỗi số rôi dung bunhia
Chuyên Vĩnh Phúc
Chứng minh:
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ với x,y,z>0
Đặt $f(a,b,c)=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ và $t=\frac{a+b}{2}$
Ta có: $f(a,b,c)-f(t,t,c)=(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})-(\frac{2(a+b)}{a+b+2c}+\frac{c}{a+b})=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}-\frac{2(a+b)}{a+b+2c}=\frac{a(c+a)(a+b+2c)+b(b+c)(a+b+2c)-2(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+c)(b+c)(a+b+2c)}=\frac{(a-b)^2(a+b+c)}{(a+c)(b+c)(a+b+2c)}\geqslant 0\Rightarrow f(a,b,c)\geqslant f(t,t,c)$
Ta quy về chứng minh $f(t,t,c)\geqslant \frac{3}{2}$
Thật vậy, ta có: $f(t,t,c)-\frac{3}{2}=\frac{2t}{c+t}+\frac{c}{2t}-\frac{3}{2}=\frac{(t-c)^2}{2t(t+c)}\geqslant 0$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh