Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

A = $\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 anonymous98

anonymous98

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Đã gửi 11-08-2013 - 11:17

1) Cho a,b,c > 0. Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

(bài này có thể dùng cách xét dấu 3 số (a-1),(b-1),(c-1) )

 

2) Cho x,y,z > 1 thỏa mãn x+y+z=xyz. Tìm min của

P = $\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}+\frac{x-2}{z^{2}}$

 

3) Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh

$\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+2b^{3}}\geq \frac{1}{3}\sum a$

 

4) Cho a,b,c > 0  và a+b+c=3. Tìm min của

A = $\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}$

 

5) Cho $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$

Tìm min của P = $3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 11-08-2013 - 11:24


#2 nguyencuong123

nguyencuong123

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 587 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 THPT Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An
  • Sở thích:Được người khác chia sẻ thêm nhiều kiến thức về Toán học.

Đã gửi 11-08-2013 - 11:29

Bái: $VT=\sum a^{2}+abc+abc+1\geq \sum a^{2}+3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq \sum a^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 3(ab+bc+ac)$ (Theo bddt Schur)


    :icon12:  :icon12:  :icon12:   Bình minh tắt nắng trời vương vấn :icon12:  :icon12:  :icon12:       

      :icon12: Một cõi chơi vơi, ta với ta  :icon12:       

:nav: My Facebook  :nav:  

 


#3 nguyencuong123

nguyencuong123

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 587 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 THPT Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An
  • Sở thích:Được người khác chia sẻ thêm nhiều kiến thức về Toán học.

Đã gửi 11-08-2013 - 11:50

Câu 4: $A=\sum a-\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\geq \sum a-\sum \frac{\sqrt{a}b}{2}$

Mà $3(\sum \sqrt{a})=(a+b+c)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}+a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}+b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}=\sum (b\sqrt{b}+a\sqrt{b})+\sum b\sqrt{a}\geq \sum 2(b\sqrt{a})+\sum b\sqrt{a}=3\sum b\sqrt{a}\geq \sum b\sqrt{a}\leq \sum \sqrt{a}\leq \sqrt{3}\sqrt{(a+b+c)}=3$

nên ta tim được Min A :luoi:


    :icon12:  :icon12:  :icon12:   Bình minh tắt nắng trời vương vấn :icon12:  :icon12:  :icon12:       

      :icon12: Một cõi chơi vơi, ta với ta  :icon12:       

:nav: My Facebook  :nav:  

 


#4 minhhieu070298vn

minhhieu070298vn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:đá bóng, học toán, học văn

Đã gửi 11-08-2013 - 11:58

1) Cho a,b,c > 0. Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

(bài này có thể dùng cách xét dấu 3 số (a-1),(b-1),(c-1) )

 

2) Cho x,y,z > 1 thỏa mãn x+y+z=xyz. Tìm min của

P = $\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}+\frac{x-2}{z^{2}}$

 

3) Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh

$\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+2b^{3}}\geq \frac{1}{3}\sum a$

 

4) Cho a,b,c > 0  và a+b+c=3. Tìm min của

A = $\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}$

 

5) Cho $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$

Tìm min của P = $3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$

Bài 3 và 4 dễ nhất, dùng AM-GM ngược dấu là ra bạn à!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhieu070298vn: 11-08-2013 - 11:59


#5 anonymous98

anonymous98

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Đã gửi 11-08-2013 - 12:03

Bài 3 và 4 dễ nhất, dùng AM-GM ngược dấu là ra bạn à!

Bạn cứ thử trình bày cách của bạn coi, mình ko làm vậy
.



#6 anonymous98

anonymous98

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Đã gửi 11-08-2013 - 12:05

Gợi ý cho mọi người bài 2,5 nhá:

 

2) Xét P + $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

5) Đặt S = x+y , A = xy , a = $x^{2}+y^{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anonymous98: 11-08-2013 - 12:06


#7 minhhieu070298vn

minhhieu070298vn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:đá bóng, học toán, học văn

Đã gửi 11-08-2013 - 12:11

Gợi ý cho mọi người bài 2,5 nhá:

 

2) Xét P + $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

5) Đặt S = x+y , A = xy , a = $x^{2}+y^{2}$

Mình làm bài 3 nhé:

Có $\sum \frac{a^4}{a^3+2b^3}=\sum a-\sum \frac{2ab^3}{a^3+b^3+b^3}\geq \sum a-\sum \frac{2ab^3}{3ab^2}\doteq \sum a-\sum \frac{2a}{3}=\sum \frac{1}{3}a$



#8 andymurray44

andymurray44

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Hà Nội Amsterdam

Đã gửi 11-08-2013 - 12:37

Bài 5:

$(x+y)^{3}+4xy\leq (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\Rightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\geq 2\Rightarrow x+y\geq 1$

Từ đó giải bài toán

 



#9 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 11-08-2013 - 12:38

1) Cho a,b,c > 0. Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

2) Cho x,y,z > 1 thỏa mãn x+y+z=xyz. Tìm min của

P = $\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}+\frac{x-2}{z^{2}}$

4) Cho a,b,c > 0  và a+b+c=3. Tìm min của

A = $\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}$

Bài 1: Áp dụng nguyên lí Dirichle ta có thể giả sử $2$ trong $3$ số $a-1,b-1,c-1$ cùng dấu

Giả sử đó là $a-1,b-1$$\Rightarrow (a-1)(b-1)\geqslant 0$

Bất đẳng thức đã cho được viết lại thành

                 $(a-b)^2+(c-1)^2+2c(a-1)(b-1)\geqslant 0$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài 2 : Từ giả thiết ta có $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=2$

 Xét biểu thức

        $\frac{x-2}{y^2}+\frac{y-2}{z^2}+\frac{z-2}{x^2}=\sum \frac{(x-1)+(y-1)}{y^2}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\sum (x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Đến đây áp dụng AM-GM ta có

        $\sum (x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geqslant \frac{2(x-1)}{xz}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2$

Áp dụng tiết AM-GM ta có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2\geqslant \sqrt{3(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})}-2=\sqrt{3}-2$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$

Bài 4 : Ta có $\frac{a^2}{a+b^2}=\frac{a(a+b^2)-ab^2}{a+b^2}=a-\frac{ab^2}{a+b^2}\geqslant a-\frac{b\sqrt{a}}{2}$

Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có 

     $\sum \frac{a^2}{a+b^2}\geqslant 3-\frac{b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}}{2}$

Lại có $b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\leqslant \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\leqslant 3$

$\Rightarrow \frac{a^2}{a+b^2}\geqslant \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh