Đến nội dung

Hình ảnh

A = $\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
anonymous98

anonymous98

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

1) Cho a,b,c > 0. Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

(bài này có thể dùng cách xét dấu 3 số (a-1),(b-1),(c-1) )

 

2) Cho x,y,z > 1 thỏa mãn x+y+z=xyz. Tìm min của

P = $\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}+\frac{x-2}{z^{2}}$

 

3) Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh

$\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+2b^{3}}\geq \frac{1}{3}\sum a$

 

4) Cho a,b,c > 0  và a+b+c=3. Tìm min của

A = $\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}$

 

5) Cho $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$

Tìm min của P = $3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 11-08-2013 - 11:24


#2
nguyencuong123

nguyencuong123

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 587 Bài viết

Bái: $VT=\sum a^{2}+abc+abc+1\geq \sum a^{2}+3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq \sum a^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 3(ab+bc+ac)$ (Theo bddt Schur)


    :icon12:  :icon12:  :icon12:   Bình minh tắt nắng trời vương vấn :icon12:  :icon12:  :icon12:       

      :icon12: Một cõi chơi vơi, ta với ta  :icon12:       

:nav: My Facebook  :nav:  

 


#3
nguyencuong123

nguyencuong123

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 587 Bài viết

Câu 4: $A=\sum a-\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\geq \sum a-\sum \frac{\sqrt{a}b}{2}$

Mà $3(\sum \sqrt{a})=(a+b+c)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}+a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}+b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}=\sum (b\sqrt{b}+a\sqrt{b})+\sum b\sqrt{a}\geq \sum 2(b\sqrt{a})+\sum b\sqrt{a}=3\sum b\sqrt{a}\geq \sum b\sqrt{a}\leq \sum \sqrt{a}\leq \sqrt{3}\sqrt{(a+b+c)}=3$

nên ta tim được Min A :luoi:


    :icon12:  :icon12:  :icon12:   Bình minh tắt nắng trời vương vấn :icon12:  :icon12:  :icon12:       

      :icon12: Một cõi chơi vơi, ta với ta  :icon12:       

:nav: My Facebook  :nav:  

 


#4
minhhieu070298vn

minhhieu070298vn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết

1) Cho a,b,c > 0. Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

(bài này có thể dùng cách xét dấu 3 số (a-1),(b-1),(c-1) )

 

2) Cho x,y,z > 1 thỏa mãn x+y+z=xyz. Tìm min của

P = $\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}+\frac{x-2}{z^{2}}$

 

3) Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh

$\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+2b^{3}}\geq \frac{1}{3}\sum a$

 

4) Cho a,b,c > 0  và a+b+c=3. Tìm min của

A = $\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}$

 

5) Cho $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$

Tìm min của P = $3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$

Bài 3 và 4 dễ nhất, dùng AM-GM ngược dấu là ra bạn à!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhieu070298vn: 11-08-2013 - 11:59


#5
anonymous98

anonymous98

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Bài 3 và 4 dễ nhất, dùng AM-GM ngược dấu là ra bạn à!

Bạn cứ thử trình bày cách của bạn coi, mình ko làm vậy
.



#6
anonymous98

anonymous98

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Gợi ý cho mọi người bài 2,5 nhá:

 

2) Xét P + $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

5) Đặt S = x+y , A = xy , a = $x^{2}+y^{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anonymous98: 11-08-2013 - 12:06


#7
minhhieu070298vn

minhhieu070298vn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết

Gợi ý cho mọi người bài 2,5 nhá:

 

2) Xét P + $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

5) Đặt S = x+y , A = xy , a = $x^{2}+y^{2}$

Mình làm bài 3 nhé:

Có $\sum \frac{a^4}{a^3+2b^3}=\sum a-\sum \frac{2ab^3}{a^3+b^3+b^3}\geq \sum a-\sum \frac{2ab^3}{3ab^2}\doteq \sum a-\sum \frac{2a}{3}=\sum \frac{1}{3}a$



#8
andymurray44

andymurray44

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Bài 5:

$(x+y)^{3}+4xy\leq (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\Rightarrow (x+y)^{3}+(x+y)^{2}\geq 2\Rightarrow x+y\geq 1$

Từ đó giải bài toán

 



#9
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

1) Cho a,b,c > 0. Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

2) Cho x,y,z > 1 thỏa mãn x+y+z=xyz. Tìm min của

P = $\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}+\frac{x-2}{z^{2}}$

4) Cho a,b,c > 0  và a+b+c=3. Tìm min của

A = $\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}$

Bài 1: Áp dụng nguyên lí Dirichle ta có thể giả sử $2$ trong $3$ số $a-1,b-1,c-1$ cùng dấu

Giả sử đó là $a-1,b-1$$\Rightarrow (a-1)(b-1)\geqslant 0$

Bất đẳng thức đã cho được viết lại thành

                 $(a-b)^2+(c-1)^2+2c(a-1)(b-1)\geqslant 0$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài 2 : Từ giả thiết ta có $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=2$

 Xét biểu thức

        $\frac{x-2}{y^2}+\frac{y-2}{z^2}+\frac{z-2}{x^2}=\sum \frac{(x-1)+(y-1)}{y^2}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\sum (x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Đến đây áp dụng AM-GM ta có

        $\sum (x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2})-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geqslant \frac{2(x-1)}{xz}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2$

Áp dụng tiết AM-GM ta có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2\geqslant \sqrt{3(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})}-2=\sqrt{3}-2$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$

Bài 4 : Ta có $\frac{a^2}{a+b^2}=\frac{a(a+b^2)-ab^2}{a+b^2}=a-\frac{ab^2}{a+b^2}\geqslant a-\frac{b\sqrt{a}}{2}$

Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có 

     $\sum \frac{a^2}{a+b^2}\geqslant 3-\frac{b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}}{2}$

Lại có $b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\leqslant \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\leqslant 3$

$\Rightarrow \frac{a^2}{a+b^2}\geqslant \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh