Cho các số thực dương a;b;c. CMR:
$\large \sum \frac{a}{\left ( b+c \right )^{2}}\geq \frac{9}{4\left ( a+b+c \right )}$
Cho các số thực dương a;b;c. CMR:
$\large \sum \frac{a}{\left ( b+c \right )^{2}}\geq \frac{9}{4\left ( a+b+c \right )}$
Cho các số thực dương a;b;c. CMR:
$\large \sum \frac{a}{\left ( b+c \right )^{2}}\geq \frac{9}{4\left ( a+b+c \right )}$
BDT $\Leftrightarrow \sum \frac{a(a+b+c)}{(b+c)^2}\geqslant \frac{9}{4}$
Xét $\sum \frac{a(a+b+c)}{(b+c)^2}=\sum \frac{a^2}{(b+c)^2}+\sum \frac{a}{b+c}$
Rõ ràng trên là $1$ bất đẳng suy ra từ $2$ bất đẳng thức quen thuộc sau
$\sum \frac{a^2}{(b+c)^2}\geqslant \frac{3}{4}$
$\sum \frac{a}{b+c}\geqslant \frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 12-08-2013 - 12:33
Cách 2 :
Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên ta có giả sử $a \geqslant b \geqslant c >0$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a\geqslant b\geqslant c\\ \frac{1}{(b+c)^2}\geqslant \frac{1}{(c+a)^2}\geqslant \frac{1}{(a+b)^2} \end{matrix}\right.$
Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có
$P\geqslant \frac{a+b+c}{3}\left [ \frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}+\frac{1}{(a+b)^2} \right ]$
Sử dụng bất đẳng thức Ỉran TST 96 ta có
$P\geqslant \frac{a+b+c}{3}.\frac{9}{4(ab+bc+ca)}=\frac{3(a+b+c)}{4(ab+bc+ca)}$
Áp dụng AM-GM ta có $ab+bc+ca\leqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}$
$\Rightarrow P\geqslant \frac{3(a+b+c)}{4(ab+bc+ca)}\geqslant \frac{3(a+b+c)}{4.\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{9}{4(a+b+c)}$
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$
Cho các số thực dương a;b;c. CMR:
$\large \sum \frac{a}{\left ( b+c \right )^{2}}\geq \frac{9}{4\left ( a+b+c \right )}$
$\sum \frac{a\left ( a+b+c \right )}{\left ( b+c \right )^{2}}= \sum \frac{a^{2}}{\left ( b+c \right )^{2}}+\sum \frac{1}{b+c}$
đến đây thì dễ rồi
bài này có trong quyển Những viên kim cương tronh bất đẳng thức toán học mình mới đọc bài này hôm trước
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$(a+b+c)\left(\dfrac{a}{(b+c)^2}+\dfrac{b}{(c+a)^2}+\dfrac{c}{(a+b)^2}\right)\ge \left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)^2$
Mà $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}$
Từ đó suy ra điều phải chứng minh$.\square$
Câu nói bất hủ nhất của Joker :
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"
Áp dụng Cô-si, ta có: $$a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2=\frac{1}{2}.2a(b+c)(b+c)+\frac{1}{2}.2b(c+a)(c+a)+\frac{1}{2}.2c(a+b)(a+b)\leqslant\frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}+ \frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}+\frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}=\frac{4}{9}(a+b+c)^3$$
$\Rightarrow \sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2}= \sum_{cyc}\frac{a^2}{a(b+c)^2}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}a(b+c)^2} \geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\frac{4}{9}(a+b+c)^3} =\frac{9}{4(a+b+c)}$
Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c $
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh