Chủ đề này có 7 trả lời

[mystery266]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương $a+b+c=3$

Tìm Max $(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(a^2-ac+c^2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 12-08-2013 - 12:40

[nguyentrungphuc26041999]

bài này trên TTT số 122(tháng 4/2013)

[25 minutes]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương $a+b+c=3$

Tìm Max $(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(a^2-ac+c^2)$

Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a \geqslant b \geqslant c \geqslant 0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b^2-bc+c^2\leqslant b^{2}\\ c^2-ca+a^2\leqslant a^2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P=\prod (a^2-ab+b^2)\leqslant (a^2-ab+b^2)a^2b^2=\left [ (a+b)^2-3ab \right ]a^2b^2$

Do $a,b,c$ không âm và $a+b+c=3$ $\Rightarrow a+b\leqslant 3$

$\Rightarrow P\leqslant \left [ (a+b)^2-3ab \right ]a^2b^2\leqslant (9-3ab)a^2b^2=3(3-ab)a^2b^2$

Đến đây áp dụng AM-GM ta có

       $3(3-ab)a^2b^2=12(3-ab).\frac{ab}{2}.\frac{ab}{2}\leqslant 12(\frac{3-ab+\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}}{3})^3=12$

$\Rightarrow P\leqslant 12$

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(2,1,0)$ và các hoán vị

[quangnghia]

Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a \geqslant b \geqslant c \geqslant 0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b^2-bc+c^2\leqslant b^{2}\\ c^2-ca+a^2\leqslant a^2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P=\prod (a^2-ab+b^2)\leqslant (a^2-ab+b^2)a^2b^2=\left [ (a+b)^2-3ab \right ]a^2b^2$

Do $a,b,c$ không âm và $a+b+c=3$ $\Rightarrow a+b\leqslant 3$

$\Rightarrow P\leqslant \left [ (a+b)^2-3ab \right ]a^2b^2\leqslant (9-3ab)a^2b^2=3(3-ab)a^2b^2$

Đến đây áp dụng AM-GM ta có

       $3(3-ab)a^2b^2=12(3-ab).\frac{ab}{2}.\frac{ab}{2}\leqslant 12(\frac{3-ab+\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}}{3})^3=12$

$\Rightarrow P\leqslant 12$

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(2,1,0)$ và các hoán vị

số thực dương nha bạn ơi

[phamquanglam]

số thực dương nha bạn ơi

dương làm bằng niềm tin ak???

Có cách khác đây anh 

Toc Ngan

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

Khi đó ta có: 

$b^{2}-bc+c^{2}\leq b^{2}$

$a^{2}-ac+c^{2}\leq (a+c)^{2}$

$a^{2}-ab+b^{2}\leq (a+c)^{2}-(a+c)b+b^{2}$

Nên: $\prod (a^{2}-ac+b^{2})\leq (a+c)^{2}b^{2}((a+c)^{2}-(a+c)b+b^{2})$

Ta đặt: $x=\frac{a+c-b}{2}, y=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$

Do vậy BĐT được viết lại dưới dạng sau:

$(y^{2}-x^{2})^{2}(y^{2}+3x^{2})$

Sử dụng AM-GM:

$\frac{3}{2}(y^{2}-x^{2})\frac{3}{2}(y^{2}-x^{2})(y^{2}+3x^{2})\leq (\frac{4}{3}y^{2})^{3}=27\Rightarrow (y^{2}-x^{2})^{2}(y^{2}+3x^{2})\leq 12$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=2,b=1,c=0$

   

[quangnghia]

dương làm bằng niềm tin ak???

Có cách khác đây anh 

Toc Ngan

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

Khi đó ta có: 

$b^{2}-bc+c^{2}\leq b^{2}$

$a^{2}-ac+c^{2}\leq (a+c)^{2}$

$a^{2}-ab+b^{2}\leq (a+c)^{2}-(a+c)b+b^{2}$

Nên: $\prod (a^{2}-ac+b^{2})\leq (a+c)^{2}b^{2}((a+c)^{2}-(a+c)b+b^{2})$

Ta đặt: $x=\frac{a+c-b}{2}, y=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$

Do vậy BĐT được viết lại dưới dạng sau:

$(y^{2}-x^{2})^{2}(y^{2}+3x^{2})$

Sử dụng AM-GM:

$\frac{3}{2}(y^{2}-x^{2})\frac{3}{2}(y^{2}-x^{2})(y^{2}+3x^{2})\leq (\frac{4}{3}y^{2})^{3}=27\Rightarrow (y^{2}-x^{2})^{2}(y^{2}+3x^{2})\leq 12$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=2,b=1,c=0$

   

thấy đề thớt cho dương á

[phamquanglam]

thấy đề thớt cho dương á

Ờ số dương thì làm gì có max???

Hay kết luận:  Vậy không tìm được GTLN của hàm số hả??

Mình chắc chắn 100% sai đề chỗ dữ kiện..........

[jamboohoang]

Ờ số dương thì làm gì có max???

Hay kết luận:  Vậy không tìm được GTLN của hàm số hả??

Mình chắc chắn 100% sai đề chỗ dữ kiện..........

lam m lam giong o sang tao tke.hack ak