Cho $a,b,c$ là các số thực dương $a+b+c=3$
Tìm Max $(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(a^2-ac+c^2)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 12-08-2013 - 12:40
Cho $a,b,c$ là các số thực dương $a+b+c=3$
Tìm Max $(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(a^2-ac+c^2)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 12-08-2013 - 12:40
bài này trên TTT số 122(tháng 4/2013)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương $a+b+c=3$
Tìm Max $(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(a^2-ac+c^2)$
Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a \geqslant b \geqslant c \geqslant 0$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b^2-bc+c^2\leqslant b^{2}\\ c^2-ca+a^2\leqslant a^2 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow P=\prod (a^2-ab+b^2)\leqslant (a^2-ab+b^2)a^2b^2=\left [ (a+b)^2-3ab \right ]a^2b^2$
Do $a,b,c$ không âm và $a+b+c=3$ $\Rightarrow a+b\leqslant 3$
$\Rightarrow P\leqslant \left [ (a+b)^2-3ab \right ]a^2b^2\leqslant (9-3ab)a^2b^2=3(3-ab)a^2b^2$
Đến đây áp dụng AM-GM ta có
$3(3-ab)a^2b^2=12(3-ab).\frac{ab}{2}.\frac{ab}{2}\leqslant 12(\frac{3-ab+\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}}{3})^3=12$
$\Rightarrow P\leqslant 12$
Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(2,1,0)$ và các hoán vị
Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a \geqslant b \geqslant c \geqslant 0$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b^2-bc+c^2\leqslant b^{2}\\ c^2-ca+a^2\leqslant a^2 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow P=\prod (a^2-ab+b^2)\leqslant (a^2-ab+b^2)a^2b^2=\left [ (a+b)^2-3ab \right ]a^2b^2$
Do $a,b,c$ không âm và $a+b+c=3$ $\Rightarrow a+b\leqslant 3$
$\Rightarrow P\leqslant \left [ (a+b)^2-3ab \right ]a^2b^2\leqslant (9-3ab)a^2b^2=3(3-ab)a^2b^2$
Đến đây áp dụng AM-GM ta có
$3(3-ab)a^2b^2=12(3-ab).\frac{ab}{2}.\frac{ab}{2}\leqslant 12(\frac{3-ab+\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}}{3})^3=12$
$\Rightarrow P\leqslant 12$
Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(2,1,0)$ và các hoán vị
số thực dương nha bạn ơi
số thực dương nha bạn ơi
dương làm bằng niềm tin ak???
Có cách khác đây anh
Toc NganKhông mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$
Khi đó ta có:
$b^{2}-bc+c^{2}\leq b^{2}$
$a^{2}-ac+c^{2}\leq (a+c)^{2}$
$a^{2}-ab+b^{2}\leq (a+c)^{2}-(a+c)b+b^{2}$
Nên: $\prod (a^{2}-ac+b^{2})\leq (a+c)^{2}b^{2}((a+c)^{2}-(a+c)b+b^{2})$
Ta đặt: $x=\frac{a+c-b}{2}, y=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$
Do vậy BĐT được viết lại dưới dạng sau:
$(y^{2}-x^{2})^{2}(y^{2}+3x^{2})$
Sử dụng AM-GM:
$\frac{3}{2}(y^{2}-x^{2})\frac{3}{2}(y^{2}-x^{2})(y^{2}+3x^{2})\leq (\frac{4}{3}y^{2})^{3}=27\Rightarrow (y^{2}-x^{2})^{2}(y^{2}+3x^{2})\leq 12$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=2,b=1,c=0$
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
dương làm bằng niềm tin ak???
Có cách khác đây anh
Toc NganKhông mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$
Khi đó ta có:
$b^{2}-bc+c^{2}\leq b^{2}$
$a^{2}-ac+c^{2}\leq (a+c)^{2}$
$a^{2}-ab+b^{2}\leq (a+c)^{2}-(a+c)b+b^{2}$
Nên: $\prod (a^{2}-ac+b^{2})\leq (a+c)^{2}b^{2}((a+c)^{2}-(a+c)b+b^{2})$
Ta đặt: $x=\frac{a+c-b}{2}, y=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$
Do vậy BĐT được viết lại dưới dạng sau:
$(y^{2}-x^{2})^{2}(y^{2}+3x^{2})$
Sử dụng AM-GM:
$\frac{3}{2}(y^{2}-x^{2})\frac{3}{2}(y^{2}-x^{2})(y^{2}+3x^{2})\leq (\frac{4}{3}y^{2})^{3}=27\Rightarrow (y^{2}-x^{2})^{2}(y^{2}+3x^{2})\leq 12$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=2,b=1,c=0$
thấy đề thớt cho dương á
thấy đề thớt cho dương á
Ờ số dương thì làm gì có max???
Hay kết luận: Vậy không tìm được GTLN của hàm số hả??
Mình chắc chắn 100% sai đề chỗ dữ kiện..........
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
Ờ số dương thì làm gì có max???
Hay kết luận: Vậy không tìm được GTLN của hàm số hả??
Mình chắc chắn 100% sai đề chỗ dữ kiện..........
lam m lam giong o sang tao tke.hack ak
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh