Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Max $(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(a^2-ac+c^2)$ với $a+b+c=3$

bất đẳng thức

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 mystery266

mystery266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Viet Nam

Đã gửi 12-08-2013 - 12:17

Cho $a,b,c$ là các số thực dương $a+b+c=3$

Tìm Max $(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(a^2-ac+c^2)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 12-08-2013 - 12:40


#2 nguyentrungphuc26041999

nguyentrungphuc26041999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 406 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT Phan Bội Châu
  • Sở thích:bóng đá, làm toán, chơi game,đủ trò

Đã gửi 12-08-2013 - 12:36

bài này trên TTT số 122(tháng 4/2013)



#3 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 12-08-2013 - 12:50

Cho $a,b,c$ là các số thực dương $a+b+c=3$

Tìm Max $(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(a^2-ac+c^2)$

Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a \geqslant b \geqslant c \geqslant 0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b^2-bc+c^2\leqslant b^{2}\\ c^2-ca+a^2\leqslant a^2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P=\prod (a^2-ab+b^2)\leqslant (a^2-ab+b^2)a^2b^2=\left [ (a+b)^2-3ab \right ]a^2b^2$

Do $a,b,c$ không âm và $a+b+c=3$ $\Rightarrow a+b\leqslant 3$

$\Rightarrow P\leqslant \left [ (a+b)^2-3ab \right ]a^2b^2\leqslant (9-3ab)a^2b^2=3(3-ab)a^2b^2$

Đến đây áp dụng AM-GM ta có

       $3(3-ab)a^2b^2=12(3-ab).\frac{ab}{2}.\frac{ab}{2}\leqslant 12(\frac{3-ab+\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}}{3})^3=12$

$\Rightarrow P\leqslant 12$

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(2,1,0)$ và các hoán vị


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#4 quangnghia

quangnghia

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH KHTN HCM

Đã gửi 03-07-2014 - 17:06

Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a \geqslant b \geqslant c \geqslant 0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b^2-bc+c^2\leqslant b^{2}\\ c^2-ca+a^2\leqslant a^2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P=\prod (a^2-ab+b^2)\leqslant (a^2-ab+b^2)a^2b^2=\left [ (a+b)^2-3ab \right ]a^2b^2$

Do $a,b,c$ không âm và $a+b+c=3$ $\Rightarrow a+b\leqslant 3$

$\Rightarrow P\leqslant \left [ (a+b)^2-3ab \right ]a^2b^2\leqslant (9-3ab)a^2b^2=3(3-ab)a^2b^2$

Đến đây áp dụng AM-GM ta có

       $3(3-ab)a^2b^2=12(3-ab).\frac{ab}{2}.\frac{ab}{2}\leqslant 12(\frac{3-ab+\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}}{3})^3=12$

$\Rightarrow P\leqslant 12$

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(2,1,0)$ và các hoán vị

số thực dương nha bạn ơi


Thầy giáo tương lai

#5 phamquanglam

phamquanglam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Phúc Thành - Kinh Môn - Hải Dương
  • Sở thích:Toán, Hóa, Sinh, Badminton

Đã gửi 03-07-2014 - 17:18

số thực dương nha bạn ơi

dương làm bằng niềm tin ak???

Có cách khác đây anh 

Toc Ngan

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

Khi đó ta có: 

$b^{2}-bc+c^{2}\leq b^{2}$

$a^{2}-ac+c^{2}\leq (a+c)^{2}$

$a^{2}-ab+b^{2}\leq (a+c)^{2}-(a+c)b+b^{2}$

Nên: $\prod (a^{2}-ac+b^{2})\leq (a+c)^{2}b^{2}((a+c)^{2}-(a+c)b+b^{2})$

Ta đặt: $x=\frac{a+c-b}{2}, y=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$

Do vậy BĐT được viết lại dưới dạng sau:

$(y^{2}-x^{2})^{2}(y^{2}+3x^{2})$

Sử dụng AM-GM:

$\frac{3}{2}(y^{2}-x^{2})\frac{3}{2}(y^{2}-x^{2})(y^{2}+3x^{2})\leq (\frac{4}{3}y^{2})^{3}=27\Rightarrow (y^{2}-x^{2})^{2}(y^{2}+3x^{2})\leq 12$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=2,b=1,c=0$

:icon6:  :icon6:  :icon6:


:B) THPT PHÚC THÀNH K98  :B) 

 

Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày

Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay

 

Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/

My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc

:off:  :off:  :off:


#6 quangnghia

quangnghia

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 397 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH KHTN HCM

Đã gửi 03-07-2014 - 17:21

dương làm bằng niềm tin ak???

Có cách khác đây anh 

Toc Ngan

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

Khi đó ta có: 

$b^{2}-bc+c^{2}\leq b^{2}$

$a^{2}-ac+c^{2}\leq (a+c)^{2}$

$a^{2}-ab+b^{2}\leq (a+c)^{2}-(a+c)b+b^{2}$

Nên: $\prod (a^{2}-ac+b^{2})\leq (a+c)^{2}b^{2}((a+c)^{2}-(a+c)b+b^{2})$

Ta đặt: $x=\frac{a+c-b}{2}, y=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$

Do vậy BĐT được viết lại dưới dạng sau:

$(y^{2}-x^{2})^{2}(y^{2}+3x^{2})$

Sử dụng AM-GM:

$\frac{3}{2}(y^{2}-x^{2})\frac{3}{2}(y^{2}-x^{2})(y^{2}+3x^{2})\leq (\frac{4}{3}y^{2})^{3}=27\Rightarrow (y^{2}-x^{2})^{2}(y^{2}+3x^{2})\leq 12$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=2,b=1,c=0$

:icon6:  :icon6:  :icon6:

thấy đề thớt cho dương á


Thầy giáo tương lai

#7 phamquanglam

phamquanglam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Phúc Thành - Kinh Môn - Hải Dương
  • Sở thích:Toán, Hóa, Sinh, Badminton

Đã gửi 03-07-2014 - 17:26

thấy đề thớt cho dương á

Ờ số dương thì làm gì có max???

Hay kết luận:  Vậy không tìm được GTLN của hàm số hả??

Mình chắc chắn 100% sai đề chỗ dữ kiện..........


:B) THPT PHÚC THÀNH K98  :B) 

 

Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày

Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay

 

Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/

My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc

:off:  :off:  :off:


#8 jamboohoang

jamboohoang

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Phúc Thành

Đã gửi 04-07-2014 - 22:49

Ờ số dương thì làm gì có max???

Hay kết luận:  Vậy không tìm được GTLN của hàm số hả??

Mình chắc chắn 100% sai đề chỗ dữ kiện..........

lam m lam giong o sang tao tke.hack ak







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh