Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Tìm GTNN của $\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}$

hay khó tuyệt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 gogeta

gogeta

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định

Đã gửi 12-08-2013 - 17:37

1. Tìm GTNN của biểu thức sau, biết a, b > 1:

$\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}$

2. Giải PT:

$\sqrt{x^2+x}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=\sqrt{x+3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gogeta: 14-08-2013 - 12:00


#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 12-08-2013 - 18:01

2. Giải PT:

$\sqrt{x^2+x}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=\sqrt{x+3} \qquad (1)$

Lời giải. Điều kiện xác định $x \ge 0$ hoặc $-3 \le x \le -1$.

Ta có $(1) \Rightarrow x^2+ \frac{1}{x^2}+ 2 \sqrt{ (x^2+x) \left(1+ \frac{1}{x^2} \right)}=2$.

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $x^2+ \frac{1}{x^2} \ge 2$. Do đó $2 \sqrt{ (x^2+x) \left( 1+ \frac{1}{x^2} \right)} =0$ hay $x^3+2x^2+x+1=0$.

Phương trình bậc ba này tìm nghiệm thế nào nhỉ ??


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 12-08-2013 - 18:01

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#3 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 12-08-2013 - 19:03

Lời giải. Điều kiện xác định $x \ge 0$ hoặc $-3 \le x \le -1$.

Ta có $(1) \Rightarrow x^2+ \frac{1}{x^2}+ 2 \sqrt{ (x^2+x) \left(1+ \frac{1}{x^2} \right)}=2$.

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $x^2+ \frac{1}{x^2} \ge 2$. Do đó $2 \sqrt{ (x^2+x) \left( 1+ \frac{1}{x^2} \right)} =0$ hay $x^3+2x^2+x+1=0$.

Phương trình bậc ba này tìm nghiệm thế nào nhỉ ??

Không nên phân tích ra cho phức tạp $2 \sqrt{ (x^2+x) \left( 1+ \frac{1}{x^2} \right)}=0\Leftrightarrow x(x+1)=0\Leftrightarrow x=-1$ (Do điều kiện)


Nothing won't change 

 

$\lim_{n\rightarrow \infty }\ln[h(t)]=117771$


#4 Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:bốn bể là nhà
  • Sở thích:thích mọi thứ

Đã gửi 13-08-2013 - 14:26

1. Tìm GTNN của biểu thức sau, biết a > 0 và b > 1:

$\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}$

nếu cho a về 0 , b vô cùng lớn thì ko có min hả  chắc là cả a>1 chứ


tàn lụi


#5 Simpson Joe Donald

Simpson Joe Donald

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh hoá
  • Sở thích:toán học, cờ vua, đá bóng, nghe nhạc,...nói chung là nhiều lắm

Đã gửi 13-08-2013 - 16:26

1. Tìm GTNN của biểu thức sau, biết a > 0 và b > 1:

$\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}$

Đầu tiên ta chứng minh bđt: $\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\ge 2$

Thật vậy ta có: $x=(x-1)+1\ge 2\sqrt{x-1}\implies dpcm$

Quay về bài toán: 

Ta có: $\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{b-1}\ge 2\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}.\dfrac{b^2}{b-1}}=2.\dfrac{a}{\sqrt{a-1}}.\dfrac{b}{\sqrt{b-1}}\ge 8$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Simpson Joe Donald: 13-08-2013 - 16:27

Câu nói bất hủ nhất của Joker  : 
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"


#6 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 13-08-2013 - 18:53

Đầu tiên ta chứng minh bđt: $\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\ge 2$

Thật vậy ta có: $x=(x-1)+1\ge 2\sqrt{x-1}\implies dpcm$

Quay về bài toán: 

Ta có: $\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{b-1}\ge 2\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}.\dfrac{b^2}{b-1}}=2.\dfrac{a}{\sqrt{a-1}}.\dfrac{b}{\sqrt{b-1}}\ge 8$

Bài này ko đơn giản đâu, vì a > 0 nên có thể a - 1 < 0 nên ko xài Cauchy được....Có thể là đề sai hoặc lời giải của bạn là sai...


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#7 Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:bốn bể là nhà
  • Sở thích:thích mọi thứ

Đã gửi 14-08-2013 - 14:45

1. Tìm GTNN của biểu thức sau, biết a, b > 1:

$\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}$

 

nếu đã có a và b >1 thì áp dụng C-S ta có $VT\geq \frac{(a+b)^2}{a+b-2}\geq 8\Leftrightarrow (a+b)^2 \geq 8(a+b)-16\Leftrightarrow (a+b-4)^2 \geq 0$

ta có đpcm


tàn lụi






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh