Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN của $\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}$

* * * * * 1 Bình chọn hay khó tuyệt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
gogeta

gogeta

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

1. Tìm GTNN của biểu thức sau, biết a, b > 1:

$\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}$

2. Giải PT:

$\sqrt{x^2+x}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=\sqrt{x+3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gogeta: 14-08-2013 - 12:00


#2
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

2. Giải PT:

$\sqrt{x^2+x}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=\sqrt{x+3} \qquad (1)$

Lời giải. Điều kiện xác định $x \ge 0$ hoặc $-3 \le x \le -1$.

Ta có $(1) \Rightarrow x^2+ \frac{1}{x^2}+ 2 \sqrt{ (x^2+x) \left(1+ \frac{1}{x^2} \right)}=2$.

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $x^2+ \frac{1}{x^2} \ge 2$. Do đó $2 \sqrt{ (x^2+x) \left( 1+ \frac{1}{x^2} \right)} =0$ hay $x^3+2x^2+x+1=0$.

Phương trình bậc ba này tìm nghiệm thế nào nhỉ ??


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 12-08-2013 - 18:01

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#3
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Lời giải. Điều kiện xác định $x \ge 0$ hoặc $-3 \le x \le -1$.

Ta có $(1) \Rightarrow x^2+ \frac{1}{x^2}+ 2 \sqrt{ (x^2+x) \left(1+ \frac{1}{x^2} \right)}=2$.

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $x^2+ \frac{1}{x^2} \ge 2$. Do đó $2 \sqrt{ (x^2+x) \left( 1+ \frac{1}{x^2} \right)} =0$ hay $x^3+2x^2+x+1=0$.

Phương trình bậc ba này tìm nghiệm thế nào nhỉ ??

Không nên phân tích ra cho phức tạp $2 \sqrt{ (x^2+x) \left( 1+ \frac{1}{x^2} \right)}=0\Leftrightarrow x(x+1)=0\Leftrightarrow x=-1$ (Do điều kiện)



#4
Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết

1. Tìm GTNN của biểu thức sau, biết a > 0 và b > 1:

$\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}$

nếu cho a về 0 , b vô cùng lớn thì ko có min hả  chắc là cả a>1 chứ


tàn lụi


#5
Simpson Joe Donald

Simpson Joe Donald

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết

1. Tìm GTNN của biểu thức sau, biết a > 0 và b > 1:

$\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}$

Đầu tiên ta chứng minh bđt: $\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\ge 2$

Thật vậy ta có: $x=(x-1)+1\ge 2\sqrt{x-1}\implies dpcm$

Quay về bài toán: 

Ta có: $\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{b-1}\ge 2\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}.\dfrac{b^2}{b-1}}=2.\dfrac{a}{\sqrt{a-1}}.\dfrac{b}{\sqrt{b-1}}\ge 8$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Simpson Joe Donald: 13-08-2013 - 16:27

Câu nói bất hủ nhất của Joker  : 
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"


#6
bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

Đầu tiên ta chứng minh bđt: $\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\ge 2$

Thật vậy ta có: $x=(x-1)+1\ge 2\sqrt{x-1}\implies dpcm$

Quay về bài toán: 

Ta có: $\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{b-1}\ge 2\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}.\dfrac{b^2}{b-1}}=2.\dfrac{a}{\sqrt{a-1}}.\dfrac{b}{\sqrt{b-1}}\ge 8$

Bài này ko đơn giản đâu, vì a > 0 nên có thể a - 1 < 0 nên ko xài Cauchy được....Có thể là đề sai hoặc lời giải của bạn là sai...


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#7
Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết

1. Tìm GTNN của biểu thức sau, biết a, b > 1:

$\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}$

 

nếu đã có a và b >1 thì áp dụng C-S ta có $VT\geq \frac{(a+b)^2}{a+b-2}\geq 8\Leftrightarrow (a+b)^2 \geq 8(a+b)-16\Leftrightarrow (a+b-4)^2 \geq 0$

ta có đpcm


tàn lụi






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hay, khó, tuyệt

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh