1. Tìm GTNN của biểu thức sau, biết a, b > 1:
$\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}$
2. Giải PT:
$\sqrt{x^2+x}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=\sqrt{x+3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gogeta: 14-08-2013 - 12:00
1. Tìm GTNN của biểu thức sau, biết a, b > 1:
$\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}$
2. Giải PT:
$\sqrt{x^2+x}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=\sqrt{x+3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gogeta: 14-08-2013 - 12:00
2. Giải PT:
$\sqrt{x^2+x}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=\sqrt{x+3} \qquad (1)$
Lời giải. Điều kiện xác định $x \ge 0$ hoặc $-3 \le x \le -1$.
Ta có $(1) \Rightarrow x^2+ \frac{1}{x^2}+ 2 \sqrt{ (x^2+x) \left(1+ \frac{1}{x^2} \right)}=2$.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có $x^2+ \frac{1}{x^2} \ge 2$. Do đó $2 \sqrt{ (x^2+x) \left( 1+ \frac{1}{x^2} \right)} =0$ hay $x^3+2x^2+x+1=0$.
Phương trình bậc ba này tìm nghiệm thế nào nhỉ ??
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 12-08-2013 - 18:01
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Lời giải. Điều kiện xác định $x \ge 0$ hoặc $-3 \le x \le -1$.
Ta có $(1) \Rightarrow x^2+ \frac{1}{x^2}+ 2 \sqrt{ (x^2+x) \left(1+ \frac{1}{x^2} \right)}=2$.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có $x^2+ \frac{1}{x^2} \ge 2$. Do đó $2 \sqrt{ (x^2+x) \left( 1+ \frac{1}{x^2} \right)} =0$ hay $x^3+2x^2+x+1=0$.
Phương trình bậc ba này tìm nghiệm thế nào nhỉ ??
Không nên phân tích ra cho phức tạp $2 \sqrt{ (x^2+x) \left( 1+ \frac{1}{x^2} \right)}=0\Leftrightarrow x(x+1)=0\Leftrightarrow x=-1$ (Do điều kiện)
1. Tìm GTNN của biểu thức sau, biết a > 0 và b > 1:
$\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}$
Đầu tiên ta chứng minh bđt: $\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\ge 2$
Thật vậy ta có: $x=(x-1)+1\ge 2\sqrt{x-1}\implies dpcm$
Quay về bài toán:
Ta có: $\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{b-1}\ge 2\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}.\dfrac{b^2}{b-1}}=2.\dfrac{a}{\sqrt{a-1}}.\dfrac{b}{\sqrt{b-1}}\ge 8$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Simpson Joe Donald: 13-08-2013 - 16:27
Câu nói bất hủ nhất của Joker :
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"
Đầu tiên ta chứng minh bđt: $\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\ge 2$
Thật vậy ta có: $x=(x-1)+1\ge 2\sqrt{x-1}\implies dpcm$
Quay về bài toán:
Ta có: $\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{b-1}\ge 2\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}.\dfrac{b^2}{b-1}}=2.\dfrac{a}{\sqrt{a-1}}.\dfrac{b}{\sqrt{b-1}}\ge 8$
Bài này ko đơn giản đâu, vì a > 0 nên có thể a - 1 < 0 nên ko xài Cauchy được....Có thể là đề sai hoặc lời giải của bạn là sai...
1. Tìm GTNN của biểu thức sau, biết a, b > 1:
$\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}$
nếu đã có a và b >1 thì áp dụng C-S ta có $VT\geq \frac{(a+b)^2}{a+b-2}\geq 8\Leftrightarrow (a+b)^2 \geq 8(a+b)-16\Leftrightarrow (a+b-4)^2 \geq 0$
ta có đpcm
tàn lụi
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
vmo vĩnh phúc 2022Bắt đầu bởi nhatvinh2018, 27-12-2021 hay |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
vmo ninh thuận 2022Bắt đầu bởi nhatvinh2018, 10-12-2021 hay |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh $HJLK$ nội tiếpBắt đầu bởi nguen thai an, 30-09-2021 khó |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của $P=8(a^2+b^2)-2a-2b$ biết $2a\sin^2 x+b(\sin x-\cos x)^2=0$ luôn có nghiệmBắt đầu bởi hieulu, 02-09-2021 toán 12, bdt, khó |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
chứng minhAT//BDBắt đầu bởi nguyentrongvanviet, 11-05-2021 khó, hình học phẳng |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh