2 replies to this topic

[25 minutes]

Cho $a,b,c>0$ và $a^4+b^4+c^4=$

Tìm GTNN của $T_N=\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}$

[Strygwyr]

Cho $a,b,c>0$ và $a^4+b^4+c^4=3$

Tìm GTNN của $T_N=\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}$

Bài này chỉ cần dùng $U.C.T$ là được thôi anh ạ.

Dễ thấy $a,b,c< \sqrt[4]{3}\Rightarrow 2-a>0,2-b>0,2-c>0$

Ta chứng minh :

$\frac{1}{2-a}\geq 1+\frac{a^{4}-1}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{a-1}{2-a}\geq \frac{a^{4}-1}{4}$

$\Leftrightarrow (a-1)((a-2)(a^{3}+a^{2}+a+1)+4)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-1^{2})(a^{3}-2a+3)\geq 0$

Theo $AM-GM$ ta có :

$a^{3}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\geq 3a.\sqrt[3]{\frac{9}{4}}>2a$

Do đó : $\frac{1}{2-a}\geq 1+\frac{a^{4}-1}{4}$

Tương tự $\frac{1}{2-b}\geq 1+\frac{b^{4}-1}{4}$ và $\frac{1}{2-c}\geq 1+\frac{c^{4}-1}{4}$

Suy ra : $T_N=\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3$

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

@anh Toc Ngan : hình như em làm sai mất rồi, để em thử dùng $p,q,r$ xem thế nào ạ.

Edited by Strygwyr, 14-08-2013 - 19:22.

[25 minutes]

Ta chứng minh :

$\frac{1}{2-a}\geq 1+\frac{a^{4}-1}{4}$

Xem lại một số bước biến đổi, bất đẳng thức sai với $a=0,9$