Cho $a,b,c>0$ và $a^4+b^4+c^4=$
Tìm GTNN của $T_N=\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}$
Cho $a,b,c>0$ và $a^4+b^4+c^4=$
Tìm GTNN của $T_N=\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}$
Cho $a,b,c>0$ và $a^4+b^4+c^4=3$
Tìm GTNN của $T_N=\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}$
Bài này chỉ cần dùng $U.C.T$ là được thôi anh ạ.
Dễ thấy $a,b,c< \sqrt[4]{3}\Rightarrow 2-a>0,2-b>0,2-c>0$
Ta chứng minh :
$\frac{1}{2-a}\geq 1+\frac{a^{4}-1}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{a-1}{2-a}\geq \frac{a^{4}-1}{4}$
$\Leftrightarrow (a-1)((a-2)(a^{3}+a^{2}+a+1)+4)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-1^{2})(a^{3}-2a+3)\geq 0$
Theo $AM-GM$ ta có :
$a^{3}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\geq 3a.\sqrt[3]{\frac{9}{4}}>2a$
Do đó : $\frac{1}{2-a}\geq 1+\frac{a^{4}-1}{4}$
Tương tự $\frac{1}{2-b}\geq 1+\frac{b^{4}-1}{4}$ và $\frac{1}{2-c}\geq 1+\frac{c^{4}-1}{4}$
Suy ra : $T_N=\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3$
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
@anh Toc Ngan : hình như em làm sai mất rồi, để em thử dùng $p,q,r$ xem thế nào ạ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Strygwyr: 14-08-2013 - 19:22
"Nothing is impossible"
(Napoleon Bonaparte)
Ta chứng minh :
$\frac{1}{2-a}\geq 1+\frac{a^{4}-1}{4}$
Xem lại một số bước biến đổi, bất đẳng thức sai với $a=0,9$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh