Chủ đề này có 1 trả lời

[hihi2zz]

Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn hệ thức $x+y+z=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

  $P=4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz$

                               (Đề thi thử lần 2 khối A và A1 năm 2013 của Moon.vn)

 

 

[Strygwyr]

Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn hệ thức $x+y+z=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

  $P=4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+15xyz$

                               (Đề thi thử lần 2 khối A và A1 năm 2013 của Moon.vn)

Ta có : $(x+y+z)^{3}=\sum x^{3}+3\sum xy(x+y)+6xyz$

Theo $Schur$ bậc $3$ ta có :

$\sum xy(x+y)\leq \sum x^{3}+3xyz$

Suy ra $(x+y+z)^{3}=\sum x^{3}+3\sum xy(x+y)+6xyz\leq 4\sum x^{3}+15xyz$

Vậy $minP=1$

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$ hoặc $(a,b,c)$ là một hoán vị của bộ $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Strygwyr: 14-08-2013 - 07:50